Seja g x = ∫ 0 x f ( t ) d t , em que f é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado

  1. Em que valores de x ocorrem os valores máximos e mínimos locais de g ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou fazer passo a passo com você! O problema começa dizendo que temos uma função g ( x ) , e que ela é definida em função da integral de outra função

g x = ∫ 0 x f ( t ) d t

f ! Então vamos olhar ele com mais carinho

E o que ele nos pede agora na letra (a)? ele pede os valores de x nos quais a função g apresenta máximos/mínimos locais

Mas onde será que isso acontece? Bom, uma função apresenta máximos e mínimos onde a derivada é igual a zero!

Então nosso primeiro passo é derivar a função g para determinar onde a derivada é nula!

Mas e depois? Notou que a função g é uma integral? Então aqui vamos usar o teorema fundamental do cálculo para achar a derivada!

E o que será que tem a ver o gráfico? O gráfico é de f , e a derivada de g vai aparecer a f ! Está aí nossa ligação!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa função g   é

g x = ∫ 0 x f ( t ) d t

Derivando temos

g ' x = d d x ∫ 0 x f t d t

E aqui vamos usar o teorema fundamental do cálculo! Como relembrar é viver...

Então vamos aplicar o limite superior em f ( t ) !

g ' x = f ( x )

Tudo bem até aqui?

E agora? Agora queremos saber onde a derivada é zero! Então o que queremos de verdade é

g ' x = f x = 0

As raízes de f ! E elas nós conseguimos direto do gráfico!

Passo 3

As raízes são os valores de x nos quais f cruza o eixo x ! Vamos rever o gráfico

Os pontos nos quais a f cruza o eixo são: x = 0,1 , 3,5 , 7,9

Não esqueça de contar o início e o final da função! Nesses pontos x = 1   e   x = 9 a função f também toca no eixo x !

E é isso! Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

x = 0,1 , 3,5 , 7,9

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)