Seja g x = ∫ 0 x f ( t ) d t , em que f é a função cujo gráfico é ilustrado ao lado

  1. Em que valor g atinge seu valor máximo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo certo? Essa questão é uma continuação, então vamos resgatar lá do item (a) o resultado!

O problema nos deu essa função aqui

g x = ∫ 0 x f t d t

E através do teorema fundamental do cálculo descobrimos que a derivada de g é a f ' ( x ) :

g ' x = f x

Então o que temos no gráfico

É o comportamento da derivada de g !

Agora nesse segundo item, o problema pergunta em que valor a função g atinge seu máximo. Bom, a ideia aqui é pensar em termos de derivada! Pensar onde a derivada representa o máximo de uma função e tentar tirar essa informação do gráfico!

Mas calma, vou fazer com você! Vamos lá?

Passo 2

Já sabemos que a derivada de g é representada por f :

g ' x = f ( x )

Mas como relacionamos ao valor máximo/mínimo? Pela derivada! A função apresenta um máximo ou mínimo quando sua derivada for igual a zero, ou seja, no nosso caso quando

f x = 0

Tudo bem até aqui?

Esses pontos nós também encontramos lá no item (a): x = 1,3 , 5,7 , 9 . Mas qual deles representa um máximo e qual deles é maior?

Para isso precisamos lembrar como classificamos como máximo: em torno do ponto crítico, em que a derivada passa de valores positivos para negativos

(os pontos de mínimo são o oposto: a função derivada em torno dele passa de negativa para positiva)

Assim, vamos retornar ao gráfico:

Assim os pontos de máximo são em x = 1   e   5 . E de mínimo em x = 3   e   7

Mas qual dos máximos é o maior? Se nós tivéssemos a cara da função g , seria só calcular g 1 e g ( 5 ) e comparas os valores. O maior valor seria o máximo! Mas e agora?

Temos o gráfico da DERIVADA: então vamos olhar para as áreas!

Vemos que os pelo gráfico:

∫ 0 1 f t d t < ∫ 1 3 f t d t < ∫ 3 5 f t d t < ∫ 5 7 f t d t < ∫ 7 9 f t d t

Sabemos que

g 1 = ∫ 0 1 f t d t

g 5 = ∫ 0 5 f t d t = g 1 - ∫ 1 3 f t d t + ∫ 3 5 f t d t

E

g 9 = ∫ 0 9 f t d t = g 5 - ∫ 5 7 f t d t + ∫ 7 9 f t d t

No gráfico fica assim:

Então, temos que g 1 < g 5 < g ( 9 ) .

Então o máximo absoluto ocorre em x = 9 . Embora não apareça na nossa classificação de máximos (porque não sabemos o comportamento da derivada para x > 9 ), pela área podemos afirmar que x = 9 é um ponto de máximo e mais: máximo absoluto!

Ufa! Terminamos! Bora para o próximo item?

Resposta

x = 9

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)