17 . Seja f   : R → R uma função sobre a qual sabe-se apenas que é duas vezes diferenciável e

f ' x = x 4 - 1 x 4 + 1

Considere as seguintes afirmações:

I f 1 necessariamente é um valor de mínimo local.

I I f 1 necessariamente é um valor de mínimo global.

( I I I ) 0 , f 0 necessariamente é um ponto de inflexão.

I V f 0 necessariamente é um valor de mínimo local.

A : As afirmações I e I V são verdadeiras

B : As afirmações I I e I I I são verdadeiras

C : As afirmações I e I I I são verdadeiras

D : A afirmação I V é verdadeira

E : A afirmação I I é verdadeira

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!

Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto x .

Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo e se ela for positiva é um ponto de mínimo.

Caso a derivada função não zere em nenhum ponto essa função não tem valores de máximo nem de mínimo.

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação, para saber se f ( 1 ) é valor de mínimo global, temos que ver se f ' 1 = 0 e depois ver se f ' ' 1 > 0 .

A primeira derivada já temos, assim:

f ' 1 = 1 4 - 1 1 4 + 1 = 0

Agora vamos achar a segunda derivada, temos que:

f ' ' x = x 4 - 1 ' x 4 + 1 - ( x 4 - 1 ) ( x 4 + 1 ) ' x 4 + 1 2

= 4 x 3 x 4 + 1 - x 4 - 1 4 x 3 x 4 + 1 2

= 4 x 3 ( x 4 + 1 - x 4 + 1 ) x 4 + 1 2

Então temos que:

f ' ' x = 8 x 3 x 4 + 1 2

Avaliando em x = 1 , temos:

f ' ' 1 = 8 ( 1 ) 3 1 4 + 1 2 = 4 > 0

Então f ( 1 ) é ponto de mínimo local.

Passo 3

Agora vamos avaliar a segunda afirmação.

Ela diz que o ponto f ( 1 ) é um mínimo global, mas para isso acontecer teríamos que ter f 1 < f ( x ) , mas já vimos que ele é um valor de mínimo local, logo essa afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos ver a terceira afirmação.

Ela diz que o ponto 0 ,   f 0 é um ponto de inflexão. Vem comigo analisar uma coisa, temos que a primeira derivada é dada por:

f ' x = x 4 - 1 x 4 + 1

Ela é igual a zero para x = 1 e para x = - 1 , nós já vimos que para x = 1 temos um ponto de mínimo (concavidade para cima), vamos ver o que temos para x = - 1 .

f ' ' - 1 = 8 ( - 1 ) 3 ( - 1 ) 4 + 1 2 = - 4 < 0

Então f ( - 1 ) é ponto de máximo (concavidade para baixo).

Então aconteceu uma mudança de concavidade no caminho de x = - 1 até x = 1 , então tem que ter um ponto de inflexão nesse intervalo.

Para achar esse cara podemos achar o ponto em que a primeira derivada é máxima e isso acontece quando a segunda derivada é igual a zero, então:

8 x 3 x 4 + 1 2 = 0

⇒ x = 0

Então f ' ( x ) é máxima em x = 0 , então nosso ponto de inflexão ocorre em ( 0 , f ( 0 ) ) .

A afirmação é verdadeira.

Passo 5

A última afirmação diz que f ( 0 ) é valor de mínimo local, mas a gente já viu que a primeira derivada só zera nos pontos x = - 1 ou x = 1 , então não tem como ter um mínimo local em x = 0 e que f ( 0 ) seja ponto de mínimo.

Essa afirmação é falsa.

Então as únicas afirmações corretas são a ( I ) e ( I I I ) , então a letra C é a nossa escolhida.

Resposta

C : As afirmações I e I I I são verdadeiras

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