7.25. Seja f x = 5 x 2 + a x 5 , x > 0 , onde a > 0 . Ache o menor valor de a para o qual tem-se f x ≥ 28 , para todo x > 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em obter o valor de a que faça a função f x ser ≥ 28 para todo x > 0 .

E aí, tem alguma ideia do que fazer? 🤔

O que podemos fazer é analisar o comportamento da função e obter seus pontos críticos para saber qual o ponto mínimo de f .

Assim, derivamos a função f e igualamos a 0 , dessa forma encontramos uma equação que relaciona a e x ...

Isolando a e substitundo em f , podemos fazer f = 28 e obter qual o valor de x faz com que f = 28 , e por fim, substituímos x que encontramos na equação de a .

Sacou? Bora ver como é na prática! 😁

Passo 2

A função f x é dada por

f x = 5 x 2 + a x 5

Derivando f , vamos obter

f ' x = d 5 x 2 + a x 5 d x = d 5 x 2 d x + d a x 5 d x

f ' x = 10 x + - 5 a x 6

Simplificando e igualando a 0 , temos

f ' x = 10 x - 5 a x 6 = 0

10 x - 5 a x 6 = 0

10 x · x 6 - 5 a x 6 · x 6 = 0 · x 6

10 x 7 - 5 a = 0

Isolando a nessa equação...

5 a = 10 x 7 → a = 2 x 7

Assim podemos substituir a na função e igualar a 28

f x = 5 x 2 + 2 x 7 x 5

f x = 5 x 2 + 2 x 2

f x = 7 x 2 = 28

7 x 2 = 28

x 2 = 4 → x = 2

Poderia ser x = ± 2 , mas como estamos interessados apenas em x > 0 , então vamos ignorar x = - 2 ...

Fazendo x = 2 em a , temos

a = 2 x 7 = 2 2 7

a = 2 8

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a = 2 8

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)