Seja f x = x 3 + a x 2 + b x + c , onde a , b , c são constantes reais. Considere as seguintes afirmações:

  1. Existe x 0   ∈   R tal que f x 0 = x 0 .
  2. f possui ao menos um ponto crítico.
  3. f possui exatamente um ponto de inflexão.
  4. Se a 2 ≤ 3 b então f é injetora.

É sempre correto somente o que se afirma em:

  1. 1 , 3 e 4
  2. 2 e 3
  3. 3 e 4
  4. 2 , 3 e 4
  5. 1 e 3

Passo 1

Bom, vamos analisar então essa primeira afirmação: Existe x 0 ∈ R tal que f x 0 = x 0 .

Isso nos diz basicamente que a nossa função, em algum momento vai se encontrar com a função y = x .

Como estamos trabalhando com uma equação do terceiro grau, é interessante lembrar da carinha dele.

Como sabemos que ele vai desde menos infinito, até mais infinito, podemos afirmar que certamente em algum momento ele se cruza com a função y = x .

Passo 2

A segunda afirmação nos diz que f possui ao menos um ponto crítico. Isso não necessariamente é verdade.

Os pontos críticos são aqueles onde a primeira derivada da função seja igual a zero. Observe que como temos uma equação do terceiro grau, sua primeira derivada vai nos levar a uma equação do segundo grau, certo?

Ou seja, estamos nos referindo ao ponto onde a equação do segundo grau é igual a zero. Uma equação do segundo grau não necessariamente tem que tem um y = 0 .

Exemplo: x 2 + 1 . Olha o gráfico dela

Em nenhum momento ela cruza o eixo x, ou seja, em nenhum momento ela é igual a zero.

Passo 3

Próxima afirmação que temos é f possui exatamente um ponto de inflexão. Os pontos de inflexão são encontrados quando a segunda derivada é igual a zero. Vamos conferir isso então:

f x = x 3 + a x 2 + b x + c

f ' x = 3 x 2 + 2 a x + b

f ' ' x = 6 x + 2 a

6 x + 2 a = 0

x = a 3

Opa, sabemos então que o único ponto de inflexão é em x = a 3 .

Passo 4

Por último vamos avaliar se a 2 ≤ 3 b ,   então a f será injetora ou não.

Antes de mais nada, precisamos lembrar que a função é chamada de injetora qundo, se x 1 ≠ x 2 ,   e n t ã o   f x 1 ≠ f x 2 .

Na equação do terceiro grau termos justamente essa relação, onde a 2 ≤ 3 b para ser injetora.

Ou seja, a relação entre o termo que multiplica o x 2 (no caso o a ) e o que multiplica o x (o b ) tem que respeitar essa relação.

Caso a 2 seja maior do que 3 b , a função passa a ter um máximos e um mínimo, como nesse exemplo

x 3 + 2 x 2 + 1

Passando a ser sobrejetora.

Resposta

1 , 3 e 4

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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)