Seja f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

(a) Podemos garantir que a função f x , y possui máximo absoluto e mínimo absoluto em D = x , y : x 2 + y 2 ≤ 16 ? Justifique.

(b) Determine o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de f em D , se possível. Justifique.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma função f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 .

No item a) temos que verificar se dentro do espaço D , onde D = x , y : x 2 + y 2 ≤ 16 , existe um ponto máximo e ponto mínimo absoluto.

Já no item b) temos que determinar o valor máximo e o valor mínimo dentro do espaço D .

Antes de tudo, podemos manipular a função f de modo que fique com a cara de algo mais conhecido por nós.

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5

f x , y = 2 x - 1 2 + 3 y 2 - 7

Com isso, conseguimos ver que esta função descreve uma espécie de paraboloide com as bordas levemente achatadas.

Se fossemos observar as curvas de níveis para esta função, íamos ver elipses.

Mas então! Como vamos calcular os itens a) e b)? 🤔

Bora começar nossos cálculos! 😁

Passo 2

Vamos analisar a imagem de f para ver se existe alguma chance da função possuir máximo ou mínimo dentro de D .

Como nossa função é um paraboloide em que x e y são positivos, logo ele é voltado para cima.

Em um paraboloide voltado para cima, o seu ponto mínimo é o seu centro e conforme x e y aumentam, f tende ao infinito.

Analisando a função, vemos que o centro do paraboloide está em 1,0

f x , y = 2 x - 1 2 + 3 y 2 - 7

Logo nesse ponto, o valor de f é dado como

f 1,0 = 2 1 - 1 2 + 3 0 2 - 7

f 1,0 = - 7

Ou seja, apenas analisando a função descobrimos que seu ponto mínimo é dado em 1,0 e tem valor - 7 .

Como a região D é um cilindro de raio 4 e centrado na origem, logo o ponto 1,0 está contido dentro de D .

E como um paraboloide voltado para cima tende ao infinito, ele não possui máximo global.

Ou seja, a região D possui um mínimo global, mas não possui um máximo global!

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

No item b) vamos obter o máximo valor e o mínimo valor de f dentro da região D .

O menor ponto já encontramos, que é justamente o mínimo global de f . Agora queremos descobrir o maior valor que f assume dentro de D .

Pra isso, substituímos D em f e calculamos os pontos críticos normalmente.

Como nosso paraboloide não é muito doido do tipo de subir e descer, então podemos considerar apenas as bordas de D , já que quanto mais longe de 1,0 , mais f cresce.

f x , y = 2 x - 1 2 + 3 y 2 - 7 x 2 + y 2 = 16

Isolando y 2 em D e substituindo em f , temos

y 2 = 16 - x 2

Assim, vamos ter uma função de uma única variável

f x = 2 x - 1 2 + 3 16 - x 2 - 7

f x = 2 x 2 - 4 x + 2 + 48 - 3 x 2 - 7

f x = - x 2 - 4 x + 43

Agora derivamos essa função e igualamos a 0 .

Pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = - 2 x 2 - 1 - 4 x 1 - 1 + 43 · 0

f ' x = - 2 x - 4

Igualando a 0

- 2 x - 4 = 0

x = - 2

Encontramos uma coordenada que f assume seu maior valor em D . x = - 2 !

Agora vamos obter a coordenada em y .

Passo 4

Substituindo x = - 2 em D , vamos obter

- 2 2 + y 2 = 16

y 2 = 16 - 4

y 2 = 1 2

y = ± 12

Como y está ao quadrado, temos que considerar 12 como positivo e como negativo.

Dessa forma, encontramos duas possibilidades para y .

Logo os pontos críticos serão as combinações das coordenadas que encontramos.

P 1 = - 2 , 12 P 2 = - 2 , - 12

Por fim, substituímos essas coordenadas em f para obter o maior ponto

Para P 1

f - 2 , 12 = 2 - 2 - 1 2 + 3 12 2 - 7

f - 2 , 12 = 2 - 3 2 + 3 12 - 7

f - 2 , 12 = 18 + 36 - 7

f - 2 , 12 = 47

Agora para P 2

f - 2 , - 12 = 2 - 2 - 1 2 + 3 - 12 2 - 7

f - 2 , - 12 = 2 - 3 2 + 3 12 - 7

f - 2 , - 12 = 18 + 36 - 7

f - 2 , - 12 = 47

Obtemos os mesmos valores para P 1 e P 2 .

Logo o ponto mínimo em D é o ponto 1,0 , - 7 e os pontos máximos são - 2 , 12 , 47 e - 2 , - 12 , 47 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) D possui um ponto mínimo global em 1,0 , f 1,0 = - 7 .

b) Os pontos máximos em D são - 2 ,   12 e - 2 ,   - 12 onde em ambos f = 47 .

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