Seja f x = 3 x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 + 7 . O ponto x = - 2 é ponto de

a. maximo local mas nao global.

b. minimo local mas nao global.

c. maximo global.

d. minimo global.

e. inflexao.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 + 7

E perguntou se o ponto x = - 2 é máximo global, local, se é mínimo global, local, etc.

E agora, como determinar isso?

Quando a derivada primeira é zero podemos ter duas coisas: ponto de máximo ou mínimo. E esse ponto pode ser máximo/mínimo global quando é o maior/menor valor que a função assume, inclusive nos infinitos.

Sendo assim, a ideia é derivar a função dada, igualar a zero e verificar onde a função troca de sinal para achar os pontos de máximo e mínimo. E aí conferir se o - 2 está nesses pontos!

Lembrando que se a derivada for zero em um ponto e ela não trocar de sinal significa que esse ponto é de inflexão

Então a ideia é analisar o sinal desse produto com as afirmativas para ver qual delas se encaixa melhor! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

A função

f x = 3 x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 + 7

Derivando

f ' = 12 x 3 + 12 x 2 - 24 x = 0

12 x x 2 + x - 2 = 0

E agora vamos fatorar aquela parte quadrada dentro dos parênteses! Por soma e produto achamos que as raízes são

x = 1 ,   x = - 2

Então a forma fatorada é

12 x x - 1 x + 2 = 0

Beleza?

Passo 3

Temos três pontos críticos

x = 0 ,   x = 1 ,   x = - 2

Agora vamos analisar a derivada em torno deles

Temos que x = - 2 e x = 1 são pontos de mínimo. E x = 0 é ponto de máximo. Mas note que a função é um polinômio de grau par, então ele não tem um máximo global. Assim

x = 0 é máximo local.

Agora vamos analisar os outros pontos. Em x = 1 a função vale

f 1 = 3 + 4 - 12 + 7 = 2

E em x = - 2

f - 2 = 3 ( - 2 ) 4 + 4 ( - 2 ) 3 - 12 - 2 2 + 7 = - 25

A função nos extremos de x vai a infinito, então vemos que ele é ponto de mínimo global!

Alternativa correta (d)

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)