Seja f x = a 3   x 3 + b 2   x 2 + c x + d com a = 1 e y = f ( x ) possui mínimo local no ponto P ( 6,7 ) e máximo local em Q 8 , f 8 . O valor de 6 f 0   é

a )   798

b )   762

c )   654

d ) 690

e )   726

Passo 1

Opa galera, aqui é uma questão de cálculo diferencial onde nós temos uma função qualquer que está definida ao longo de um certo domínio onde o foco da questão é encontrar um valor da função quando x = 0 .

f 0 = d

Ou seja, preciso encontrar o valor do parâmetro d na função, mas como faço isso?

Para encontrar todos os parâmetros da função vamos utilizar os conceitos de máximo e mínimo, conceitos esses que estão altamente correlacionados com outro conceito que é o de derivadas.

Para solucionar esse problema nós precisaremos utilizar um assunto do calculo diferencial e integral que é chamado de derivadas e para resolver o probleminha precisamos lembrar de uns certos detalhezinhos sobre as derivadas de uma função e pontos críticos. Mas eis a pergunta, você se lembra?

CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar desse conceito bem importante aqui, o conceito físico sobre as derivadas de primeira ordem fala o seguinte.

Um ponto crítico é um possível candidato para ser um mínimo, um máximo ou um ponto cela de uma determinada função. Para encontrar esses candidatos utilizamos um conceito de derivadas.

O conceito é o seguinte:

f ' x = 0 ,   x   é   u m   p o n t o   c r i t i c o   d a   f u n ç ã o

Mas aqui vamos precisar de um conceito adicional:

f ' ' x < 0 ,   x   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

f ' ' x > 0 ,   x   é   u m   p o n t o   d e   m i n i m o

Ok,ok né? Como isso me ajuda a resolver a questão?

Bem, aqui nós temos uma ruma de variáveis que são os parâmetros a , b , c , d . Logo, precisaremos de 4 equações para resolver o probleminha. Isso não é fantástico?

Mas de onde vem essas equações né?

Uma já vem do enunciado pois ele fala que quando x = 6 temos que f 6 = 7 .

Já a outra equação vem da condição de estabilidade do ponto crítico que é f ' 6 = f ' ( 8 ) = 0 e a terceira equação vem da condição de ponto de mínimo pois f ' ' 6 > 0 e finalizamos com a equação que informa que a = 1 .

com isso temos as 4 equações e 4 variáveis.

Preparado para começar a matemática? Então vamos láá´.

Passo 2

Para um primeiro passo, vamos para o mais prático que é substituir 6 na função derivada do problema gerando a seguinte equação:

d d x f x = a x 2 + b x + c

Aplicando os pontos informados no problema temos as seguintes equações:

f ' 6 = 0 = 36 a + 6 b + c

f 8 = 0 = 64 a + 8 B + c

Agora vamos calcular a derivada de segunda ordem:

d d x   d d x f x = d d x a x 2 + b x + c = 2 a x + b  

Aplicando no ponto   x = 6 temos que:

2 a * 6 + b > 0

Logo temos que:

b >   - 12 a

Resolvendo o seguinte sistema de equações:

f ' 6 = 0 = 36 a + 6 b + c

f 8 = 0 = 64 a + 8 B + c

Eliminando o c e realizando muita matemática temos que:

28 a + 2 b = 0

Gerando:

b = - 14 a

Utilizando os dados da questão temos que:

a = 1

Logo ou a = - 1 ou a = 1 .

Quando a = - 1 , utilizando as equações obtidas para b   até o momento temos que:

b > 12

b = 14

O que satisfaz as equações, porém quando a = 1 temos que:

b > - 12

b = - 14

O que entra em contradição, sendo assim temos que:

a = - 1

b = - 14

Utilizando a equação obtida anteriormente para c temos que:

c = - 36 a - 6 b = 48

Agora precisamos apenas encontrar o valor de d   e para isso vamos utilizar o seguinte conjunto de informações disponibilizadas no enunciado da questão:

Quando x = 6 temos que y = 7 então podemos calcular o valor de d através da seguinte igualdade:

  7 = a 3   6 3 + b 2   6 2 + 6 c + d

Como os valores de a , b , c forma obtidos anteriormente na calculadora podemos calcular o d e encontramos um valor de d = 690 6

Passo 3

Como a questão procura o valor de 6 f 0 = 6 * d = 690

Resposta

A resposta é a alternativa d .

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