Sejam K uma constante positiva e f : R → R satisfazendo:

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0 ,   lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

f ' x = K e x 2 1 + x 2 ,   x ∈ R

a) Determine os pontos críticos, intervalos em que f é crescente e intervalos em que f é decrescente.

b) Determine f ' ' ( x ) e use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de f .

c) Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de f é para cima, os intervalos em que ela é para baixo e os pontos de inflexão do gráfico de f .

d) Usando os itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f supondo que f ( - 4 ) = - 3 ; f ( - 2 ) = - 4 ; f ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Temos bastante coisas para resolver nesta questão, mas não se preocupe, vamos chegar no fim sabendo tudo para resolve-la.

No item a) vamos calcular os pontos críticos de f , pra isso já temos sua derivada, então igualamos a 0 .

f ' x = 0

K e x 2 1 + x 2 = 0

K e x 2 1 + x 2 / K = 0 / K

e x 2 1 + x 2 = 0

e x 2 = 0 ou 1 + x 2 = 0

e x 2 = 0 não possui solução, então podemos descartar essa possibilidade.

1 + x 2 = 0

x = - 2

Portanto x = - 2 é um ponto crítico.

Analisando o gráfico de f ' x quando K = 1

Vemos que a função f ' x tende a 0 quando x → - ∞ , decresce até quando x = - 4 , cresce a partir desse ponto e atinge o ponto y = 0 quando x = - 2 .

Com isso, podemos concluir que a função f x é decrescente até x = - 2 e crescente a partir daí.

D e c r e s c e n t e : - ∞ , - 2

C r e s c e n t e : - 2 , + ∞

Passo 2

No item b) vamos calcular a f ' ' x e classificar os pontos críticos de f .

f ' ' x = d d x K e x 2 1 + x 2 = K d d x e x 2 1 + x 2

Pela regra do produto, se g x = e x 2 e h x = 1 + x 2

f ' ' x K = d d x e x 2 · 1 + x 2 + d d x 1 + x 2 · e x 2

f ' ' x K = e x 2 2 · 1 + x 2 + 1 2 · e x 2

f ' ' x K = e x 2 1 + x 4

f ' ' x = K e x 2 1 + x 4

O fator K não será importante agora já que é uma constante positiva, então podemos desconsidera-lo.

f ' ' - 2 = e - 2 2 1 + - 2 4

f ' ' - 2 = e - 1 1 - 1 2

f ' ' - 2 = 0,1839

f ' ' - 2 > 0 , logo o ponto em que x = - 2 é um ponto de mínimo.

Passo 3

No item c) analisando o gráfico de f ' x novamente, vemos que a função f possui uma concavidade voltada para baixo no intervalo de ( - ∞ , - 4 ) e outra concavidade voltada para cima no intervalo ( - 4 , + ∞ ) .

Também podemos ver isso igualando a função f ' ' x = 0 , seguindo os mesmos passos, vamos encontrar sua raiz como x = - 4 , sabemos que a função f x decresce quando vem de - ∞ e cresce a partir de + ∞ , então nossa afirmação está correta.

No item d) nosso esboço do gráfico será.

Para facilitar, você pode integrar a função f ' x para encontrar uma aproximação de f x .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A) Ponto crítico: x = - 2 , D e c r e s c e n t e : - ∞ , - 2 , C r e s c e n t e : - 2 , + ∞ .

B) f ' ' - 2 > 0 , logo o ponto em que x = - 2 é um ponto de mínimo.

C) A função f possui uma concavidade voltada para baixo no intervalo de ( - ∞ , - 4 ) e outra concavidade voltada para cima no intervalo ( - 4 , + ∞ ) .

D) Gráfico no passo-a-passo.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
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