Sendo α, β e γ os ângulos de um triângulo, calcule o valor máximo de s i n   α   +   s i n   β   +   s i n   γ .

Passo 1

O valor máximo de ( sin ⁡ α + sin ⁡ β + sin ⁡ γ ) ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero. Nesse caso, todos os ângulos são iguais a ( 60 ∘ ) o u ( π 3 ) r a d i a n o s e a soma dos senos dos ângulos será máxima.

Portanto, o valor máximo é:

[ sin ⁡ 60 ∘ + sin ⁡ 60 ∘ + sin ⁡ 60 ∘ = 3 2 + 3 2 + 3 2 = 3 3 2 ]

Passo 2

Para provar que o valor máximo de ( sin ⁡ α + sin ⁡ β + sin ⁡ γ ) ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero, podemos usar o conceito de desigualdade de Jensen. A função ( sin ⁡ x ) é uma função côncava no intervalo ( 0 , π ) , o que significa que, para qualquer conjunto de números reais ( { x 1 , x 2 , x 3 } ) no intervalo ( 0 , π ) e seus respectivos pesos ( { w 1 , w 2 , w 3 } ) que somam 1, a seguinte desigualdade de Jensen é válida:

[ w 1 sin ⁡ x 1 + w 2 sin ⁡ x 2 + w 3 sin ⁡ x 3 ≤ sin ⁡ w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 ]

Agora, vamos aplicar a desigualdade de Jensen aos ângulos (   α ,   β ,   )   e   (   γ ) de um triângulo, com pesos iguais ( w 1 = w 2 = w 3 = 1 3 ) :

[ 1 3 sin ⁡ α + 1 3 sin ⁡ β + 1 3 sin ⁡ γ ≤ sin ⁡ 1 3 α + 1 3 β + 1 3 γ ]

Agora, observe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre (   π ) radianos o u ( 180 ∘ ) . Portanto, podemos escrever:

[   α +   β +   γ =   π ]

Agora, substituímos essa relação na desigualdade de Jensen:

[ 1 3 sin ⁡ α + 1 3 sin ⁡ β + 1 3 sin ⁡ γ ≤ sin ⁡ 1 3 π - α - β - γ ]

Simplificamos ainda mais:

[ 1 3 sin ⁡ α + 1 3 sin ⁡ β + 1 3 sin ⁡ γ ≤ sin ⁡ π 3 ]

Lembre-se de que ( sin ⁡ π / 3 = 3 2 ) . Portanto, temos:

[ 1 3 sin ⁡ α + 1 3 sin ⁡ β + 1 3 sin ⁡ γ ≤ 3 2 ]

A igualdade ocorre quando (   α =   β =   γ ) , ou seja, quando o triângulo é equilátero. Portanto, o valor máximo de ( sin ⁡ α + sin ⁡ β + sin ⁡ γ ) ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero e é igual a ( 3 2 ) .

Resposta

3 3 2

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