Suponha que f e g são funções diferenciáveis no ponto x = a e que f a > 0 e g a > 0 . Se f e g atingem um valor máximo local em x = a , então mostre que h x = f x g ( x ) também atingem um valor máximo local em x = a .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que h x = f x g ( x ) tem um ponto de máximo local em x = a , sabendo que f e g atingem um valor máximo local em x = a .

Pra isso, a gente precisa lembrar que para máximos e mínimos, a derivada da curva naquele ponto é nula. Para valores máximos, a derivada de valores a esquerda é positiva e a derivada de valores a direita é negativa, e pra valores mínimos vai ser o contrário. Então, vamos analisar as derivadas a função h ( x ) no ponto a e verificar se ele é um ponto de máximo local.

Vamos lá!

Passo 2

Como f e g atingem máximo local, temos:

f ' a = g ' a = 0

Calculando a derivada de h ( x ) pela regra do produto:

h ' x = f ' x g x + f x g ' ( x )

No ponto x = a , como f ' a = g ' a = 0 , vamos ter:

h ' a = f ' a g a + f a g ' ( a )

h ' a = 0 ∙ g a + f a ∙ 0

h ' a = 0

Mas a derivada nula não implica que x = a é um máximo local. Assim, temos que analisar o sinal antes e depois de x = a .

Vamos analisar antes. Como x = a é máximo local de f e g , f ' ( x ) e g ' ( x ) é positiva para x < a numa vizinhança de a . Como f ( a ) e g ( a ) são positivas, segundo o enunciado, próximas de x = a também serão positivas, porque são contínuas nesse ponto. Assim, o sinal de h ' ( x ) também será positivo para x < a numa vizinhança de a .

Analisando, da mesma forma, pra x > a concluímos que h ' ( x ) é negativa próximo de a . Assim, como a derivada de valores a esquerda é positiva e a derivada de valores a direita é negativa, x = a é um ponto de máximo local de h .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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