Quais valores de a     e     b fazem f x = x 3 + a x 2 + b x ter

  1. Um máximo local em x = - 1 e um mínimo local em x = 3 ?
  2. Um mínimo local em x = 4 e ponto de inflexão em x = 1 ?

Passo 1

Vamos analisar as condições para que a função f x = x 3 + a x 2 + b x tenha:

  1. Um máximo local em x = - 1 e um mínimo local em x = 3 ?
  2. Um mínimo local em x = 4 e ponto de inflexão em x = 1 ?

Primeira Derivada:

Primeiro, calculemos a primeira derivada de f ( x ) em relação a x :

f ' x = 3 x 2 + 2 a x + b

Segunda Derivada:

Agora, calculemos a segunda derivada f ( x )

f ' ' x = 6 x + 2 a

  1. Máximo Local em x = - 1 e Mínimo Local em x = 3 :

Para que x = - 1 seja um máximo local e x = 3 seja um mínimo local, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

1. Em x = - 1 , a primeira derivada f ' - 1 = 0 e a segunda derivada f ' ' - 1 < 0 (para ser um máximo local).

2. Em x = 3 , a primeira derivada f ' 3 = 0 e a segunda derivada f ' ' 3 > 0 (para ser um mínimo local).

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com x = - 1

a) Em x = - 1

f ' - 1 = 3 - 1 2 + 2 a - 1 + b = 3 - 2 a + b = 0

b) Em x = 3

f ' 3 = 3 3 2 + 2 a 3 + b = 27 + 6 a + b = 0

Agora, analisamos as condições da segunda derivada:

c) Em x = - 1

f ' ' - 1 = 6 - 1 + 2 a = - 6 + 2 a

d) Em x = 3

f ' ' 3 = 6 3 + 2 a = 18 + 2 a

Passo 3

Para que x = - 1 seja um máximo local e x = 3 seja um mínimo local, devemos ter:

a) 3 - 2 a + b = 0 (equação 1)

b) 27 + 6 a + b = 0 (equação 2)

c) - 6 + 2 a < 0 (equação 3) - Para um máximo local em x = - 1

d) 18 + 2 a > 0 (equação 4) - Para um mínimo local em x = 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a   e   b

Começaremos por equações (1) e (2):

Equação 1: 3 - 2 a + b = 0

Equação 2: 27 + 6 a + b = 0

Subtrair a equação 1 da equação 2:

27 + 6 a + b - 3 - 2 a + b = 0

Simplificando:

24 + 8 a = 0

8 a = - 24

a = - 3

Passo 4

Agora que temos o valor de a   podemos substituí-lo em qualquer uma das equações (1) ou (2) para encontrar o valor de b . Vamos usar a equação (1):

3 - 2 - 3 + b = 0

3 + 6 + b = 0

b = - 9

E MUITO IMPORTANTE, as inequações 3 e 4. Se substituirmos o valor encontrado, vemos que as derivadas negativas assumem os valores esperados.

Portanto, para que \(f(x)\) tenha um máximo local em x = - 1 e um mínimo local em x = 3 , os valores de a   e   b devem ser a = - 3   e   b = - 9

Resposta

a = - 3   e   b = - 9

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