Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2017.1 - Noturno, Questão 3

Para quais valores dos números a e b a função

f x = a x e b x ²

tem o valor máximo de f 2 = 1 ?

Passo 1

A questão quer que a gente ache os valores de a e b que tornam o ponto x = 2 um ponto de máximo da função f . Para que um ponto seja máximo de uma função, ele precisa ser um ponto crítico, isto é, precisa ser um resultado de

f ' x = 0

Portanto, vamos começar derivando f

f ' x = a x ' . e b x ² + ( e b x ² ) ' a x

f ' x = a e b x ² + e b x ² 2 b x a x

f ' x = a e b x 2 + 2 a b x 2 e b x 2

f ' x = e b x 2 ( a + 2 a b x 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando a derivada a zero vamos encontrar os pontos críticos, que são candidatos a máximos e mínimos da função. Vale lembrar que a 0 pois caso contrário a função f seria constante e igual a zero.

f ' x = 0

e b x 2 a + 2 a b x 2 = 0

a + 2 a b x 2 = 0

a ( 1 + 2 b x 2 ) = 0

1 + 2 b x 2 = 0

x 2 = - 1 2 b

Passo 3

Substituindo x   =   2 nessa última expressão vemos que

b = - 1 8

Para achar o valor de a vamos agora substituir f 2 = 1 e o valor de b encontrado na função f .

f 2 = 1

a 2 e - 1 8 2 ² = 1

2 a e - 1 2 = 1

a = e 1 2 2

Passo 4

Agora que temos valores de a e b a função pode ser reescrita assim

f x = e 1 2 2 x e - x 2 8

Vamos confirmar que, de fato, a função f possui um valor máximo f 2 = 1 . Para isso vamos usar o teste da primeira derivada.

f ' x = e b x 2 ( a + 2 a b x 2 )

f ' x = e - x 2 8 e 1 2 2 - e 1 2 x 2 8

f ' x = e -   x 2 8 e 1 2 1 2 - x 2 8

f ' x = e 1 2 -   x 2 8 1 2 - x 2 8

Como e 1 2 -   x 2 8 é sempre positivo, o sinal da derivada é influenciado apenas por 1 2 - x 2 8 . Vamos analisar então em que ponto a derivada muda de sinal.

1 2 - x 2 8 > 0

x 2 8 < 1 2

x ² < 4

- 2 < x < 2

Portanto, em relação ao ponto pedido que é x = 2 , a derivada é positiva antes desse ponto e negativo depois dele, ou seja, esse ponto é um máximo da função.

Resposta

a = e 1 2 2

b = - 1 8

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