Para quais valores de c o polinômio p x =   x 4 + c x 3 + x 2 tem dois pontos de inflexão? E um ponto de inflexão? E nenhum?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pergunta quais os valores de c em que o polinômio p x =   x 4 + c x 3 + x 2 tem dois pontos de inflexão ou um ponto de inflexão ou nenhum.

Uma forma de a gente fazer isso é achar a derivada segunda e igualar a zero para achar os pontos de inflexão.

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... fazendo a primeira derivada, temos:

p ' x =   4 x 3 + 3 c x 2 + 2 x

E a segunda derivada, temos:

p ' ' x = 12 x 2 + 6 c x + 2

Passo 3

Assim, vemos que o gráfico de p ' ' ( x ) é uma parábola, assim, tem duas raízes.

Portanto, muda de sinal duas vezes, tendo dois pontos de inflexão.

E isso acontece quando o delta de p ' ' x é positivo, logo:

b 2 - 4 a c = 6 c 2 - 4 * 12 * 2 > 0 ∴

36 c 2 > 96 ∴

c > 2 6 3

Passo 4

Assim, temos agora que se

c = ± 2 6 3

Então p ' ' x é zero em um ponto, mas não há ponto de inflexão, já que p ' ' ( x ) nunca muda de sinal.

Passo 5

Por fim, temos:

36 c 2 < 96 ∴

c < 2 6 3

Aqui p ' ' ( x ) nunca troca de sinal, assim não há ponto de inflexão.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Dois pontos de inflexão para c > 2 6 3 , nenhum valor de c para um ponto e c = ± 2 6 3 e c < 2 6 3 para nenhum ponto de inflexão.

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