14. Calcule ∬ D 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 d x d y , sendo D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . (Sugestão: Faça x = a u e y = b v )

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que calcular a integral de 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2 dentro da região D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . Para nos ajudar, o problema nos deu uma sugestão de substituir x = a u e y = b v .

Ficou mais fácil agora? 🤔

Fazendo essa substituição na integral, temos

∬ D 1 - a u 2 a 2 - b v 2 b 2 d a u d b v

∬ D 1 - a 2 u 2 a 2 - b 2 v 2 b 2 a b d u d v

∬ D 1 - u 2 - v 2 a b d u d v

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo na região D

D = x , y ∈ R 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 a u 2 a 2 + b v 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 a 2 u 2 a 2 + b 2 v 2 b 2 ≤ 1

D = x , y ∈ R 2 u 2 + v 2 ≤ 1

Essa equação que descreve D é exatamente igual a equação da circunferência, não é?

Assim, como temos uma simetria circular na região de integração podemos converter as coordenadas mais uma vez para coordenadas polares.

Nessa conversão, fazemos u = r c o s θ , v = r s e n θ e u 2 + v 2 = r 2 . Por essa última equação, se comparado com a equação de D , u 2 + v 2 ≤ 1 , vemos que r ≤ 1 , ou seja, 0 ≤ r ≤ 1 .

E como D é definido em toda a circunferência, o ângulo θ cobre toda a volta da circunferência, ou seja, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Sacou? 😉

Passo 3

Montando a integral lembrando de multiplicar a fun��ão de integração pelo jacobiano da transformação r , temos

∬ D 1 - u 2 - v 2 a b d u d v → ∬ D 1 - r 2 a b r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 a b r d r d θ

Integrando em r pelo método de substituição fazendo p = 1 - r 2 e d p = - 2 r d r .

Adaptando os limites de integração...

r f = 1 → p f = 1 - 1 2

p f = 0

r i = 0 → p i = 1 - 0 2

p i = 1

então

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ → ∫ 0 2 π a b ∫ 1 0 - p 2 d p d θ

Integrando pelo método de integração polinomial, temos

∫ - p 2 d p = - p 1 2 + 1 2 1 2 + 1 = - p 3 2 3

Aplicando os limites de integração

∫ 1 0 - p 2 d p = - 0 3 2 3 - - 1 3 2 3 = 1 3

Integrando o resultado em função de θ

∫ 0 2 π a b 3 d θ = a b θ 3 0 2 π

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ = 2 π a b 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - p a b 2 d p d θ = 2 π a b 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}