Calcule a massa de D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1   ,   x 3 ≤ y ≤ 1 } com função de densidade δ x , y = e y 4 + x 2 3 .

Passo 1

Olá meu caro amigo, hoje iremos calcular a massa de uma região D tendo a sua função de densidade, primeiro vamos dar uma olhada na região D.

A região D é a região azul mais escura acima. O que sabemos aqui é que para calcular a massa nessa situação, utilizamos a seguinte integração

m = ∫ ∫ D δ x , y d A

Passo 2

Os nosso limites de integração, são 0 ≤ x ≤ y 3 e 0 ≤ y ≤ 1 , que são os limites verticais e horizontais da nossa área D

m = ∫ 0 1 ∫ 0 y 3 e y 4 + x 2 3 d x d y

= ∫ 0 1 [ e y 4 x + 3 5 x 5 3 ] 0 y 3 d y

= ∫ 0 1 e y 4 y 3 + 3 5 y 5 d y

= 1 4 ∫ 0 1 e y 4 4 y 3 d y + 3 5 y 6 6 0 1

1 4 e y 4 0 1 + 1 10 = e 4 - 1 4 + 1 10 = e 4 - 3 20 = 1 4 e - 3 5

Resposta

1 4 e - 3 5

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}