3. Calcule ∬ S   f x ,   y ,   z d S , sendo:

a. f x , y , z = x , r u , v = u , v , u 2 + v , 0 ≤ u ≤ 1 , u 2 ≤ v ≤ 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que calcular a integral ∬ S   f x ,   y ,   z d S onde f é dada por f x , y , z = x e S é dada pela superfície parametrizada por r u , v = u , v , u 2 + v , 0 ≤ u ≤ 1 , u 2 ≤ v ≤ 1 .

E aí, como podemos fazer isso? 🤔

Não podemos dizer simplesmente que x = u , substituir na integral e seguir a vida normalmente...

Estamos fazendo uma mudança de variáveis, então ao fazer essa mudança em uma integral, temos que calcular um fator de correção que chamamos de jacobiano.

Assim, podemos dizer que x = u multiplicado por um jacobiano J .

Bora ver como obtermos esse fator? 😊

Passo 2

A matriz jacobiana é dada no nosso caso, como estamos fazendo uma transformação de x , y , z → u , v

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ z

Comparando f com r , vemos que x = u , y = v e z = u 2 + v .

Calculando esse jacobiano, temos

J = ∂ u ∂ u ∂ u ∂ v ∂ u ∂ u 2 + v ∂ v ∂ u ∂ v ∂ v ∂ v ∂ u 2 + v ∂ u 2 + v ∂ u ∂ u 2 + v ∂ v ∂ z ∂ z

Podemos dizer que ∂ u ∂ u 2 + v = 1 ∂ u 2 + v �� u , ou seja

∂ u ∂ u 2 + v = 1 ∂ u 2 + v ∂ u = 1 2 u

∂ v ∂ u 2 + v = 1 ∂ u 2 + v ∂ v = 1

Substituindo em J e derivando os outros termos

J = 1 0 1 2 u 0 1 1 2 u 1 1 = 1 - 2 u · 1 2 u + 1

J = - 1

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora sim, substituindo f na integral e multiplicando pelo jacobiano J , temos que

∬ S   f x ,   y ,   z d S = ∬ S   x · J d S = ∬ S - u d S

Foi dito que S está definida na região de 0 ≤ u ≤ 1 , u 2 ≤ v ≤ 1 .

Assim, os limites de integração vão ser

∫ 0 1 ∫ u 2 1 - u d v d u

Integrando com relação a v

∫ 0 1 ∫ u 2 1 - u d v d u = ∫ 0 1 - u v u 2 1 d u = ∫ 0 1 - u + u 3 d u

Agora com relação a u

∫ 0 1 - u + u 3 d u = - u 2 2 + u 4 4 0 1 = 1 4 - 1 2

∫ 0 1 - u + u 3 d u = - 1 4

∬ S   f x ,   y ,   z d S = - 1 4

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∬ S   f x ,   y ,   z d S = - 1 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}