3) Calcule o valor da integral

∫ ∫ D e - x 2 + y 2 d A ,

Onde D é a região delimitada pelas curvas x = 4 - y 2 e x = 0 .

Passo 1

Falaaa... tudo belezinha??

Nessa questão vamos calcular essa integral feiosa, mas vamos se formos resolver do jeito convencional vai ser beeem difícil ou, até, impossível.

O que vai nos ajudar nessa questão é a mudança de variáveis. Como temos x 2 + y 2 e talss já é uma dica de que vamos usar coordenadas polares.

∫ ∫ f x , y d A = ∫ ∫ J r , θ f r , θ d r d θ

Onde J r , θ é o jacobiano. Uma parcela que sempre precisamos multiplicar quando fazemos mudança de variável.

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Passo 2

Vamos primeiro fazer um esboço dessa região D pra definir os limites de integração:

Temos que y varia de -2 a 2 e que x varia de 0 a 4 - y 2 .

Então a integral fica:

∫ - 2 2 ∫ 0 2 - y 2 e - x 2 + y 2   d x d y

Passo 3

Agora vamos fazer essa bendita mudança de variável.

Para coordenadas polares, temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E precisamos calcular o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ   sen ⁡ θ r cos ⁡ θ

= r cos 2 ⁡ θ + r sen 2 ⁡ θ

= r cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

= r

E já vamos dar uma olhada lá na figura da região D pra achar os novos limites de integração.

Repara que r varia de zero a 2 e que θ varia de - π 2 a π 2 .

Com a mudança de variável, ficamos com:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r   e - r cos ⁡ θ 2 + ( r sen ⁡ θ ) 2 d r d θ = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r   e - r 2 d r d θ

Passo 4

Resolvendo a integral de dentro por substituição simples:

Chamamos:

- r 2 = u

- 2 r   d r = d u → r   d r =   - d u 2

Para os limites de integração:

r = 0 → u = 0

r = 2 → u = - 4

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 - 4 e u - d u 2 d θ = ∫ - π 2 π 2 - e u 2 0 - 4 d θ

= ∫ - π 2 π 2 - e - 4 2 + 1 2 d θ

= - e - 4 2 + 1 2 θ - π 2 π 2

= π 2 1 - e - 4

Ohh... acabamos mais uma. Partiu pra próxima?

Resposta

π 2 1 - e - 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}