Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Considere a integral dupla em coordenadas polares:

I = ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r   d r d θ

a) Esboce a região de integração no plano cartesiano.

Sugestão: Analise a imagem das retas θ = 0 , π 4 , π 2 , 3 π 4 ,   π .

b) Calcule e interprete geometricamente a integral I .

Passo 1

a)

Antes de tudo, vamos lembrar como que é a transformação para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ       y = r sen ⁡ θ

No enunciado ele dá uma sugestão de analisar a imagem das retas para valores de θ específicos, mas sinceramente não acho que essa seja a melhor forma de fazer, que além de ser trabalhosa, não deixa nada muito claro. Então vou só analisar os limites da integral e ver o que podemos tirar disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, nós temos que 0 ≤ θ ≤ π , isso nos diz que y ≥ 0 , já que sen ⁡ θ é sempre positivo nesse intervalo.

Agora, temos que r começa em 0 , então sabemos que a regiao vai da origem, até r = sen ⁡ θ . Mas se lembrarmos que:

x 2 + y 2 = r 2

Então podemos escrever esse limite assim:

r = sen ⁡ θ → r 2 = r sen ⁡ θ

⇒ x 2 + y 2 = y → x 2 + y 2 - y = 0

Que, completando quadrados nos leva a:

x 2 + y 2 - y + 1 2 2 = 1 2 2

⇒ x 2 + y - 1 2 2 = 1 4

Que é simplesmente a equação de uma circunferência centrada em ( 0 , 1 2 ) e raio 1 2 .

Graficamente, vamos ficar com isso:

Passo 3

b)

Bem, vamos logo calcular a integral:

∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ θ r   d r d θ  

⇒ ∫ 0 π r 2 2 │ 0 sen ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ d θ

Se lembrarmos que sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 :

1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒ 1 4 θ │ 0 π - sen ⁡ 2 θ 2 │ 0 π = 1 4 π - 0

⇒ π 4

Passo 4

O que ele quis dizer para interpretarmos geometricamente é que temos que reparar que π 4 é a área ( a r e a = π r 2 ) da circunferência de raio 1 2 , o que faz bastante sentido se lembrarmos que, com coordenadas polares J = r , então teriamos:

A r e a D = ∬ D d x d y = ∬ D - r   d r d θ

Resposta

a)

b) π 4 , a área da região.

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