Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

f) ∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y em que a região limitada por 0 ≤ y ≤ 2 e - 2 y - y 2 ≤ x ≤ 2 y - y 2 . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração ou na função de integração da integral.

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = 1 x 2 + y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = 1 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 = 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

f r , θ = 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

f r , θ = 1 r 2

f r , θ = 1 r

Agora temos que definir nossa região de integração. Pra isso vamos usar a informação de que - 2 y - y 2 ≤ x ≤ 2 y - y 2 .

x 2 = 2 y - y 2

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Esboçando essa circunferência...

Para determinar os limites de integração vamos aplicar as coordenadas polares na equação da circunferência. x 2 + y - 1 2 = 1 → r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ - 1 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ + 1 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ = 0

Simplificando a equação e isolando r ...

r 2 - 2 r sin ⁡ θ = 0

r 2 = 2 r sin ⁡ θ

r = 2 sin ⁡ θ

Dessa forma r varia entre 0 e 2 sin ⁡ θ e θ de 0 a π .

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

A partir das informações que obtemos até agora podemos escrever a integral como

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y → ∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 r · r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 d r d θ

Integrando com relação a r

∫ 1 d r = r

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 d r = 2 sin ⁡ θ

Integrando o resultado em função de θ

∫ 2 sin ⁡ θ d θ = - 2 cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ = - 2 cos ⁡ π - - 2 cos ⁡ 0

∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ = 2 + 2 = 4

Portanto temos que

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y = 4

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y = 4

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