Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 5b

Passe para coordenadas polares e calcule:

0 1 x 2 2 - x 2 x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Aqui ele já é bem direto, temos que passar pra coordenadas polares. Vamos lembrar como que fica:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

A integral vai ficar, então:

D x 2 + y 2 d x d y = Q r 2 r d r d θ

Q r 2 d r d θ

Só temos que ver como que vai ficar esse novo domínio Q pra podermos calcularmos logo.

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Passo 2

Vamos fazer o esboço da região pra entendermos melhor.

Temos uma semicircunferência de raio 2 e y 0 e uma parábola y = x 2 . Com 0 x 1 , ficamos com a região laranjinha abaixo:

O θ é fácil de ver, vai de 0 a π / 2 . O r começa 0 , e varia dependendo de θ , mas não dá pra escrever isso em uma equação só, então vamos ter que separar em dois pedaços.

O ponto que os dois gráficos se encontram é o ponto 1,1 , que tem θ = π / 4 , então vamos ter duas integrais:

Q r 2 r d r d θ = 0 π 4 0 g θ r 2 d r d θ + π 4 π 2 0 h θ r 2 d r d θ

Vamos ver como que ficam essas funções g θ e h θ !

Passo 3

O primeiro pedaço era aquele da parábola:

y = x 2 r sen θ = r 2 cos 2 θ

r = sen θ cos 2 θ

Então vamos integrar:

0 π 4 0 sen θ cos 2 θ r 2 d r d θ = 0 π 4 r 3 3 0 sen θ cos 2 θ d θ

1 3 0 π 4 sen θ cos 2 θ 3 d θ

Essa integral parece bem chatinha de calcular, hein? Mas vamos tentar dar um jeito...

1 3 0 π 4 sen 3 θ cos 6 θ d θ = 1 3 0 π 4 sen θ sen 2 θ cos 6 θ d θ

1 3 0 π 4 1 - cos 2 θ cos 6 θ sen θ d θ

Agora a gente faz uma substituição:

u = cos θ d u = - sen θ d θ

Então vamos ficar com:

1 3 1 - cos 2 θ cos 6 θ sen θ d θ - d u = - 1 3 1 - u 2 u 6 d u

- 1 3 1 u 6 d u - u 2 u 6 d u

- 1 3 u - 6 d u - u - 4 d u

- 1 3 u - 5 - 5 - u - 3 - 3 = - 1 3 1 3 cos 3 θ - 1 5 cos 5 θ

Aplicando os limites de integração:

- 1 3 1 3 cos 3 θ - 1 5 cos 5 θ θ = 0 θ = π 4 = - 1 3 1 3 2 2 3 - 1 5 2 2 5 - 1 3 - 1 5  

= - 1 3 8 6 2 - 32 20 2 - 2 15 = - 1 3 - 2 2 15 - 2 15 = 2 2 + 2 45

Ufa... Espero que o outro pedaço seja mais tranquilo, né?

Passo 4

Vamos ver o segundo pedaço, que é o da semicircunferência:

y = 2 - x 2 y 2 + x 2 = 2

r 2 = 2 r = 2

O que é bem mais tranquilo, né? Haha

Vamos ficar então com:

��� π 4 π 2 0 2 r 2 d r d θ = π 4 π 2 r 3 3 0 2 d θ

1 3 2 2 θ π 4 π 2 = 2 2 3 π 2 - π 4 = 2 π 6

Passo 5

Somando os dois pedaços, a gente tem:

Q r 2 r d r d θ = 0 π 4 0 sen θ cos 2 θ r 2 d r d θ + π 4 π 2 0 2 r 2 d r d θ

2 2 + 2 45 + 2 π 6

Pronto, foi!

Resposta

2 2 + 2 45 + 2 π 6

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