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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

3. usando coordenadas polares.

Passo 1

Para escrever em coordenadas polares, vamos primeiro dividir em duas regiões. Acima e abaixo do eixo x. Para descrever a parte de cima, fazemos a seguinte substituição:

Aplicando essas substituições nas funções das circunferências:

A → x - 3 2 + y 2 = 9

r c o s θ - 3 2 + r 2 s e n 2 θ = 9

r 2 cos 2 ⁡ θ - 6 r c o s θ + 9 + r 2 s e n 2 θ = 9

r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - 6 r c o s θ = 0

r 2 = 6 r c o s θ

r = 6 c o s θ

Fazendo a substituição também em B:

B → x - 1 2   + y 2 = 1

r c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r c o s θ + 1 + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - 2 r c o s θ = 0

r 2 = 2 r c o s θ

r = 2 c o s θ

Temos então que o raio varia da circunferência menor até a maior, logo

2 c o s θ ≤ r ≤ 6 c o s θ

Já para a variação do θ , ele só dá 1 4 de volta, o que seria 2 π 4 = π 2 . Então:

0 ≤ θ ≤ π 2

Escrevendo então a integral, substituindo os valores de x e y na integral e sem esquecer de adicionar o jacobiano no seu devido lugar.

∫ 0 π 2 ∫ 2 c o s θ 6 c o s θ ( r c o s θ + r s e n θ ) r   d r d θ    

Passo 2

Para descrever a parte abaixo do eixo x, vamos fazer com coordenadas polares centradas em (4,0), que é o centro da circunferência abaixo do eixo x.

x = 4 + r c o s θ

y = r s e n θ

J = r

Bom, pela imagem podemos ver que o raio varia entre 0 e 2 e o θ vai variar de π até 2 π , ou seja, somente a metade debaixo da esfera de raio 2.

∫ π 2 π ∫ 0 2 4 + r c o s θ + r s e n θ r   d r d θ

Passo 3

Juntando então as integrais temos:

∫ 0 π 2 ∫ 2 c o s θ 6 c o s θ ( r c o s θ + r s e n θ ) r   d r d θ   + ∫ π 2 π ∫ 0 2 4 + r c o s θ + r s e n θ r   d r d θ

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 2 c o s θ 6 c o s θ ( r c o s θ + r s e n θ ) r   d r d θ   + ∫ π 2 π ∫ 0 2 4 + r c o s θ + r s e n θ r   d r d θ

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