Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Seja uma lâmina delgada representada pela região D , determinada por y ≤ x , y ≥ - x , x 2 + y 2 ≥ 2 x e x 2 + y 2 ≤ 4 x . Se a densidade em cada ponto é dada por ρ x , y = 1 x 2 + y 2 , determine a massa de D

Passo 1

Primeiro, lembra que a massa vai ser a integral dupla da densidade da lâmina, então

M = ∬ D   ρ x , y d x d y

Antes de qualquer coisa vamos determinar a figura que mostra D

A área vai ser entre as circunferências limitados pelas retas azuis.

Passo 2

Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos x 2 e y 2 , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.

Repara que o ângulo θ vai variar de um extremo da circunferência até o outro. Olha o desenho com o ângulo marcado

Então

θ 0 = - π 4

θ f = π 4

Vamos ver agora o valor de r . Pelas equações das circunferências temos

2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 x

Vamos trocar pelas coordenadas polares

2 r cos ⁡ θ ≤ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 ≤ 4 r cos ⁡ θ

2 r cos ⁡ θ ≤ r 2 cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ≤ 4 r cos ⁡ θ

2 r cos ⁡ θ ≤ r 2 ≤ 4 r cos ⁡ θ

Como r > 0

2 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 4 cos ⁡ θ

Vamos ter

D = { ( r , θ ) | 2 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 4 cos ⁡ θ ; -   π / 4 ≤ θ ≤ π / 4 }

Passo 4

A integral vai ser

M = ∬ D   ρ x , y d x d y = ∬ D 1 x 2 + y 2 d x d y

Em coordenadas polares vamos ter

M = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 2 cos ⁡ θ 4 cos ⁡ θ r r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 d r d θ

= ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 2 cos ⁡ θ 4 cos ⁡ θ r r 2 cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 d r d θ =

= ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 2 cos ⁡ θ 4 cos ⁡ θ r r 2 d r d θ =

= ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 2 cos ⁡ θ 4 cos ⁡ θ 1 d r d θ = ∫ - π / 4 π / 4 4 cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ - π / 4 π / 4 2 cos ⁡ θ d θ =

= 2 sen ⁡ θ θ = - π / 4 π / 4 = 2 sen ⁡ π 4 - 2 sen ⁡ - π 4 = 2 2 2 - - 2 2 2 = 2 + 2 = 2 2

M = 2 2

Resposta

M = 2 2

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