Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Seja

I = ∬ D f x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ - x 0 f x , y d y d x + ∫ 1 2 ∫ - 2 x - x 2 0 f x , y d y d x  

  1. Transforme I em uma só integral iterada na ordem invertida.
  2. Calcule I para f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

a )

A região que ele descreve ali é do tipo I, e está separada em dois intervalor

0 ≤ x ≤ 1 ⇒ - x ≤ y ≤ 0

1 ≤ x ≤ 2 ⇒ - 2 x - x 2 ≤ y ≤ 0

Vamos fazer o gráfico dessas partes.

O primeiro pedaço é uma reta, mas e o segundo pedaço? Vamos dar uma arrumada algébrica nele p ver que, na verdade, é uma circunferência.

- 2 x - x 2 = y

2 x - x 2 = y 2

y 2 + x 2 - 2 x = 0

Aqui vamos completar quadrado

y 2 + x 2 - 2 x + 1 = 1

y 2 + x - 1 2 = 1

Temos a nossa circunferência, o gráfico dessa bagunça vai ser

Só desenhei as parte que importam da circunferência, para escrevermos como uma região do tipo 2 , precisamos achar os limites de y e as funções que x varia. Conseguimos perceber o intervalo de y

- 1 ≤ y ≤ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora com calma o intervalo de x

Ele vai da reta até a circunferência, vamos ver como é a parte da circunferência

y 2 + x - 1 2 ≤ 1

x - 1 2 ≤ 1 - y 2

x - 1 ≤ 1 - y 2

Eu peguei a parte positiva da raiz por que estamos pegando o lado direito da circunferência, direito em relação ao centro ok?

Então

x ≤ 1 + 1 - y 2

E além disso ele é maior que a reta

y ≥ - x

x ≥ - y

Vamos ter

- y ≤ x ≤ 1 + 1 - y 2

Passo 3

A integral vai ficar

I = ∫ - 1 0 ∫ - y 1 + 1 - y 2 f x , y d x d y

Passo 4

b )

Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos x 2 e y 2 , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 5

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.

Repara que o ângulo θ vai variar de um extremo da circunferência até o outro. Olha o desenho com o ângulo marcado

Vamos ter

θ 0 = - π 4

E

θ f = 0

Isso porque ele vai até o eixo x que é onde começamos a contar a parada.

O raio da curva vai variar de 0 até a curva vermelha, vamos ver isso algebricamente,

Agora o limite superior, que é o da circunferência.

r sen ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ - 1 2 ≤ 1

r sen ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2 - 2 r cos ⁡ θ + 1 ≤ 1

r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ ≤ 0

r 2 ≤ 2 r cos ⁡ θ

Como r > 0

r ≤ 2 cos ⁡ θ

Vamos ter

D = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ ;   - π / 4 ≤ θ ≤ 0 }

Passo 6

Vamos montar a integral com coordenadas polares

I = ∫ - 1 0 ∫ - y 1 + 1 - y 2 x 2 + y 2 d x d y

I = ∫ - π / 4 0 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 r d r d θ

I = ∫ - π / 4 0 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2 r d r d θ

I = ∫ - π / 4 0 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2 d r d θ = ∫ - π / 4 0 2 cos ⁡ θ 3 3 d θ = ∫ - π / 4 0 8 cos 3 ⁡ θ 3 d θ = 8 3 ∫ - π / 4 0 cos 3 ⁡ θ d θ

Passo 7

Temos que achar a integral

∫ cos 3 ⁡ θ d θ

Para isso vamos fazer

∫ cos 3 ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Vamos fazer

sen ⁡ θ = u

cos ⁡ θ d θ = d u

A integral vai ficar

∫ 1 - u 2 d θ = u - u 3 3

Desubstituindo o valor de u = sen ⁡ θ

∫ cos 3 ⁡ θ d θ = sen ⁡ θ - sen 3 ⁡ θ 3

Passo 8

Vamos ter

I = 8 3 ∫ - π / 4 0 cos 3 ⁡ θ d θ = 8 3 sen ⁡ θ - sen 3 ⁡ θ 3 θ = - π / 4 0 = 8 3 sen ⁡ 0 - sen 3 ⁡ 0 3 - 8 3 sen ⁡ - π 4 - sen 3 ⁡ - π 4 3

⇒ - 8 3 - 2 2 - - 2 2 3 3 = - 8 3 - 2 2 + 2 2 8.3 = - 8 3 - 2 2 + 2 12 = - 8 3 - 5 2 12 =

⇒ 2.5 2 3.3 = 10 2 9

Resposta

a )           I = ∫ - 1 0 ∫ - y 1 + 1 - y 2 f x , y d x d y

b ) 10 2 9

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