Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

a) Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que tá abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9 . Seria isso aqui:

Mas que bom que existe uma fórmula pra calcular esse volume, que é dada pela integral:

V = ∬ D z   d A

Onde D é a nossa região de integração. Repare que, como a gente tem essa geometria circular, fica mais fácil calcular nossa integral usando as coordenas polares, que são convertidas de acordo com as equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r s in ⁡ θ

J = r

Assim, a gente percebe que nossa região tem um ângulo de variação θ , no intervalo [ 0 ,   2 π ] . E o nosso raio varia desde a origem até a borda do disco de raio 3 , ou seja, 0 ≤ r ≤ 3 . Então, vamos fazer essas substituições na nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

V = ∬ D z   d A

Usando z = x 2 + y 2 e substituindo as equações de transformação que vimos no passo 1 , temos:

z = x 2 + y 2 → z = r 2

Além disso, nós temos os intervalos de integração 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Substituindo tudo na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 ∙   r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 3 d r d θ

Passo 3

Agora vamos calcular nossa integral, primeiro em relação a r :

∫ 0 2 π r 4 4 0 3 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ 0 2 π 3 4 4 - 0 4 4 d θ

= ∫ 0 2 π 81 4 d θ = 8 1 4 ∫ 0 2 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

8 1 4 θ 0 2 π

E aplicando os limites de integração em θ :

8 1 4 2 π - 0

= 8 1 π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

81 π 2

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Mostre que I 2 a = ∫ ∫ D e - x 2 + y 2d x d y Onde: D = - a , a × - a , a
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule ∫ ∫ D e x + y x - y x - y 2 d x d y , onde D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x - y 2 ≤ 4 ,y ≤ 0ex + y ≥ 0