Utilize as coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

b) Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e a fora do cilindro x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que tá dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 (em vermelho) e a fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 (em azul):

Mas que bom que existe uma fórmula pra calcular esse volume, que é dada pela integral:

V = ∬ D z   d A

Onde D é a nossa região de integração. Repare que, como a gente tem essa geometria circular, fica mais fácil calcular nossa integral usando as coordenas polares, que são convertidas de acordo com as equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r s in ⁡ θ

J = r

Assim, a gente percebe que nossa região tem um ângulo de variação θ , no intervalo [ 0 ,   2 π ] . E o nosso raio varia da borda do cilindro, r = 2 , até a borda da esfera, r = 4 , ou seja, 2 ≤ r ≤ 4 . Então, vamos fazer essas substituições na nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

V = ∬ D z   d A

Usando a equção da esfera, com z = 2 16 - x 2 - y 2 e substituindo as equações de transformação que vimos no passo 1 , temos:

z = 2 16 - ( r cos ⁡ θ ) 2 - ( r s in ⁡ θ ) 2 → z = 2 16 - r 2

Além disso, nós temos os intervalos de integração 2 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Substituindo tudo na integral:

∫ 0 2 π ∫ 2 4 2 16 - r 2 ∙   r d r d θ

Passo 3

Pra calcular essa integral, vamos fazer:

u = 16 - r 2

d u = - 2 r   d r →   - d u 2 = r   d r

r = 2 → u = 12

r = 4 → u = 0

Assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ 12 0 - 2 u 2 d u d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 12 u d u d θ

Integrando primeiro em relação a u :

∫ 0 2 π 2 3 u 3 0 12 d θ

Aplicando os intervalos de integração em u :

∫ 0 2 π 2 3 12 3 - 2 3 0 3 d θ

= ∫ 0 2 π 2 3 2 3 3 d θ = 16 3 ∫ 0 2 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

16 3 θ 0 2 π

E aplicando os limites de integração em θ :

16 3 2 π - 0

= 32 3 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

32 3 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Mostre que I 2 a = ∫ ∫ D e - x 2 + y 2d x d y Onde: D = - a , a × - a , a
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule ∫ ∫ D e x + y x - y x - y 2 d x d y , onde D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x - y 2 ≤ 4 ,y ≤ 0ex + y ≥ 0