Jane está em um barco a 2 km da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea localizada 6 km

ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela

rema a 2 km/h e caminha a 5 km/h. Onde ela deve aportar para chegar à cidade no menor

tempo possível?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular onde Jane deve aportar para chegar o mais rápido possível na cidade destino. Vamos dar uma olhada na situação:

O tempo total que Jane irá gastar para chegar até a cidade é dado por

t   =   d á g u a v á g u a +   d t e r r a v t e r r a

Onde d á g u a , v á g u a , d t e r r a , v t e r r a são as distâncias e as velocidades em água e em terra, respectivamente. Da figura, utilizando o teorema de Pitágoras e supondo que Jane aporte no ponto x, temos que a distância percorrida por água é dada por d á g u a = 4 + x ² e por terra d á g u a = 6 - x

Então, o tempo total gasto por Jane para chegar até a cidade é de

t ( x )   =   4 + x ² 2 +   6 - x 5

Agora podemos determinar a distância x em que Jane deve aportar para gastar o menor tempo possível, derivando a função tempo total e igualando-a a zero, já que em um ponto de extremo de uma função, a sua derivada é nula. Então vamos lá derivar!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas, precisamos derivar cada termo da expressão. Utilizando a regra da cadeia para o primeiro termo, obtemos

t ' ( x )   =   1 2 2 x 2 4 + x ² - 1 5

Igualando a expressão acima a zero, obtemos

1 2 x 4 + x ² - 1 5 = 0 ⇒ 5 x = 2 4 + x ²

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, achamos

21 x ² - 16 = 0   ⇒ x = 4 21

Checando os pontos de limites do intervalo para o qual a função tempo total está definida ( 0 ≤ x ≤ 6 ), nos certificamos de que o valor encontrado, de fato, representa a distância que minimiza o tempo, pois

t ( 0 ) = 2,2 h ,     t ( 6 ) = 3,16 h ,     t 4 21 = 2,12 h

Então, para que Jane chegue à cidade no menor tempo possível, ela deveria aportar à 4 21 m do ponto de menor distância.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

À 4 21 metros do ponto de menor distância.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)