Ache o ponto em que a reta tangente ao gráfico de f x = x 2 corta o eixo y no ponto ( 0 ,   - 2 ) .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Nessa questão temos uma função f , dada por:

y =   f x = x 2

E, queremos encontrar o ponto em que uma reta tangente a f , tangencia essa curva, sabendo que essa reta contém o ponto ( 0 ,   - 2 ) .

Mas, como podemos encontrar a equação de uma reta tangente à uma função f ( x ) ?

Vamos precisar lembrar de algumas coisinhas importantes aqui, como por exemplo, para cortar o eixo y , uma função faz isso quando x = 0 , certo?

Então a ideia é: primeiro vamos encontrar a reta tangente à essa curva e depois ver essa interceptação entre ela e o que se pede.

Lembrando que x 0 , y 0 = ( 0 , - 2 ) que foram os pontos já dados pra gente!!

Passo 2

Para encontrar a reta tangente, precisamos lembrar da equação dela:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Ou seja, precisamos encontrar a derivada da função em x 0 que foi dado pra gente!!

f ' x 0 = 2 x 0

Como ( 0 , - 2 ) pertence a essa reta, podemos substituí-los na equação. De onde vem:

- 2 - y 0 = 2 x 0 0 - x 0

⇒ - 2 - y 0 =   - 2 x 0 2

Agora vem o pulo do gato. Como x 0 e y 0 são justamente o ponto de tangência entre a reta e f , vale que:

y 0 = f x 0 = x 0 2

Logo:

- 2 - x 0 2 =   - 2 x 0 2

Portanto,

f ' x 0 = 0

Logo:

y + 2 = 0

y = - 2

Passo 3

Uma vez que descobrimos a equação da reta tangente, agora, basta juntarmos os pontos de interesse. Sabemos que y = - 2 é um valor constante, ou seja, é o valor da reta tangente à curva f x = x 2 nos pontos dados.

Logo, para y = 0 , temos que x = 0 , e portanto, o ponto em que a reta tangente ao gráfico de f x = x 2 corta o eixo y no ponto (0, -2) té ( 0 , - 2 ) ,

Resposta

( 0 , - 2 )

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