Um avião de caça dá um vôo rasante, percorrendo a trajetória determinada pelo gráfico da função f ( x ) = 1 + 2 - x + 8 e efetua seus disparos segundo a direção de uma reta tangente como mostra a figura

a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto genérico ( x 0 , f ( x 0 ) ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O avião descrito no enunciado descrever uma trajetória que segue o gráfico da função

f ( x ) = 1 + 2 - x + 8

e faz um disparo que segue a tangente a esta curva, como indicado na figura

nesta primeira alternativa precisamos

a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto genérico ( x 0 , f ( x 0 ) ) .

para isso precisamos lembrar que a inclinação da reta tangente é dada pela definição de derivada como

m = l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a

Vamos então usar o ponto arbitrário ( x 0 , f ( x 0 ) ) e avaliar esse limite! Saca só!

Passo 2

Aplicando a função e o ponto em nossa definição, temos que

m = l i m x → x 0 1 + 2 - x + 8 - [ 1 + 2 - x 0 + 8 ] x - x 0 = l i m x → x 0 2 - x + 8 - 2 - x 0 + 8 x - x 0

podemos evidenciar o termo 2 8 de forma que

m = 2 8 l i m x → x 0 2 - x - 2 - x 0 x - x 0

ou, da mesma forma

m = 2 - x 0 + 8 l i m x → x 0 2 x 0 - x - 1 x - x 0

Isso lembra uma dica que o professor deu nesta mesma lista mas em outra questão! Vem comigo!

Passo 3

Se fizermos a mudança h = x - x 0 , temos que

m = 2 - x 0 + 8 l i m h → 0 2 - h - 1 h

na questão 2 b desta mesma lista, o professor indica que

l i m h → 0 a k h - 1 h = k   l n ( a )

identificando que a = 2 e k = - 1 , temos que

m = - 2 - x 0 + 8   l n ( 2 )

que é a inclinação de nossa reta, note que a reta em si obedecerá uma relação da forma

y = - 2 - x 0 + 8 l n ( 2 )   x   + b

como a reta passa pelo ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) obtemos

1 + 2 - x 0 + 8 = - 2 - x 0 + 8 l n ( 2 )   x 0   + b

de forma que

b = 1 + 2 - x 0 + 8 [ 1 + l n ( 2 ) x 0 ]

e, a equação da reta é simplesmente

y = - 2 - x 0 + 8 l n ( 2 )   x   + 1 + 2 - x 0 + 8 [ 1 + l n ( 2 ) x 0 ] = 1 + 2 - x 0 + 8 [ 1 + l n ( 2 ) ( x - x 0 ) ]

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 1 + 2 - x 0 + 8 [ 1 + l n ( 2 ) ( x - x 0 ) ]

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
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Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1