Considere a função f x = 3 + l n ⁡ ( 1 + 2 x cos 2 ⁡ x )

a) Calcule f ' x .

b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x ) no ponto 0 , f 0 .

Passo 1

Para começar vamos simplesmente começar resolvendo esta derivada. A derivada da contante (3) fica igual a zero. Já na derivada do ln vamos aplicar a regra da cadeia. Quando formos resolver a derivada do que está dentro do ln, aplicaremos a regra do produto. Ficamos então com:

f x = 3 + ln ⁡ 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

f ' x = 1 1 + 2 x cos 2 ⁡ x × 2 cos 2 ⁡ x + - 2 s e n x cos ⁡ x 2 x

f ' x = 2 cos 2 ⁡ x - 4 x   s e n x   c o s x × 1 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

f ' x = 2 cos 2 ⁡ x - 4 x   s e n x   c o s x 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

Passo 2

Par encontrarmos a equação da reta tangente no ponto 0 ,   f 0 precisamos incialmente descobrir qual o ponto. Precisamos ainda lembrar da fórmula da eta tangente que é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Para o caso no ponto procurado temos:

y - f 0 = f ' 0 x - 0

Calculando f(0):

f x = 3 + ln ⁡ 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

f 0 = 3 + l n ⁡ ( 1 + 0 × 1 )

f x = 3 + l n ⁡ ( 1 )

f x = 3

Agora calculando f ' ( 0 )

f ' x = 2 cos 2 ⁡ x - 4 x   s e n x   c o s x 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

f ' 0 = 2 cos 2 ⁡ 0 - 4 × 0 ×   s e n 0 ×   c o s 0 1 + 2 × 0 × cos 2 ⁡ 0

f ' 0 = 2 - 0 1 + 0

f ' 0 = 2

Passo 3

A enquação da reta tangente será então:

y - f 0 = f ' 0 x - 0

y - 3 = 2 x

y = 2 x + 3  

Resposta

a )   f ' x = 2 cos 2 ⁡ x - 4 x   s e n x   c o s x 1 + 2 x cos 2 ⁡ x

b )   y = 2 x + 3  

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