Considere a parametrização r : 0 ,   ∞ → R 3 dada por r t = t ,   t 2 ,   t 3 . Determine a equação da reta tangente à trajetória de r no ponto r ( 1 ) . Esboce a curva e reta na mesma figura.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada r t = t ,   t 2 ,   t 3 e quer que a gente encontre a reta tangente a essa curva no ponto r ( 1 ) . Em seguida, esboçar a curva e a reta no gráfico.

Para encontrar a reta tangente de uma curva parametrizada, vamos seguir um passo a passo bem simples:

1. Vamos encontrar o ponto correspondente a r ( 1 )

2. Calcular r ' ( t )

3. Determinar r ' ( 1 ) , substituindo o ponto.

4. Substituit tudo na equação da reta tangente:

s t = r t 0 + r ' t 0 ∙ t

Com t 0 = 1 , nesse caso.

Vamos lá!

Passo 2

Para t 0 = 1 e r t = t ,   t 2 ,   t 3 , vamos ter:

r 1 = 1 ,   1 ,   1

Calculando a derivada de r t = t ,   t 2 ,   t 3 , temos:

r ' t = 1 ,   2 t ,   3 t 2

Aplicando o ponto 1 ,   1 ,   1 na derivada:

r ' 1 = 1 ,   2 ∙ 1 ,   3 ∙ ( 1 ) 2

r ' 1 = 1 ,   2 ,   3

Agora basta substituir os vetores que encontramos na equação da reta tangente:

s t = r t 0 + r ' t 0 ∙ t

s t = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   2 ,   3 t

Somando cada componente:

s t = 1 ,   1 ,   1 + t ,   2 t ,   3 t

s t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t

Agora a gente pode usar um software pra nos ajudar a plotar a plotar a curva parametrizada junto com sua reta tangente. Basta escrevermos os dois vetores, r t = t ,   t 2 ,   t 3 e s t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t , e teremos a curva parametrizada (em preto) e a reta tangente no ponto 1 ,   1 ,   1 , em amarelo:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t

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