Considerem o arco de círculo dado pelo gráfico da função f ( x ) = 1 - x 2 com x ∈ [ 0,1 ] . Seja r a a reta tangente à y = f ( x ) no ponto a , f ( a ) ). Seja T a o triângulo determinado pela origem e os pontos (caso existam) em que r a corta os eixos coordenadas. Determine, se possível, os valores de a para os quais a área de T a seja mínima.

Passo 1

Vamos analisar a situação descrita no problema. Temos o arco de círculo dado pela função f ( x ) = 1 - x 2 no intervalo x ∈ [ 0,1 ] . Queremos encontrar a reta tangente r a à curva no ponto ( a , f ( a ) ) , e formar o triângulo T a com os eixos coordenados.

O objetivo é encontrar valores de a para os quais a área de T a seja mínima. O triângulo T a será determinado pela origem e pelos pontos de interseção da reta r a com os eixos coordenados.

Vamos proceder da seguinte maneira:Determinar a equação da reta tangente r a no ponto ( a , f ( a ) ) .Encontrar os pontos de interseção da reta r a com os eixos coordenados.Calcular a área de T a em termos de a .Encontrar o valor de a que minimiza a área de T a .

Passo 2

Passo 1: A equação da reta tangente r a no ponto ( a , f ( a ) ) é dada pela derivada da função f ( x ) no ponto a :

r a : y - f ( a ) = f ' ( a ) ( x - a )

Passo 2: Encontrar os pontos de interseção da reta r a com os eixos coordenados:

  • Ponto de interseção com o eixo x : y = 0 na equação r a nos dá x = a + f ( a ) f ' ( a ) .
  • Ponto de interseção com o eixo y : x = 0 na equação r a nos dá y = f ( a ) - a f ' ( a ) .Passo 3: Calcular a área de T a :A área A do triângulo T a é dada por: A = 1 2 ⋅ base altura
  • A base é a distância horizontal entre os pontos de interseção com o eixo x , ou seja, f ( a ) f ' ( a ) . A altura é a distância vertical entre o ponto ( a , f ( a ) ) e o ponto de interseção com o eixo y , ou seja, f ( a ) .Portanto, A = 1 2 ⋅ f ( a ) f ' ( a ) ⋅ f ( a ) .

Passo 3

Passo 4: Encontrar o valor de a que minimiza a área de T a :Para minimizar a área A , podemos derivar A em relação a a e igualar a derivada a zero, e depois verificar se esse ponto crítico é de mínimo.

A ' ( a ) = 1 2 f ( a ) f ' ( a ) ⋅ f ' ( a ) + f ( a ) 2 f ' ( a ) ⋅ - f ' ' ( a ) = 1 2 ⋅ f ( a ) ⋅ 1 - f ( a ) ⋅ f ' ' ( a ) f ' ( a ) 2

Agora, igualamos A ' ( a ) a zero e resolvemos para a :

1 - f ( a ) ⋅ f ' ' ( a ) f ' ( a ) 2 = 0

Infelizmente, a análise da equação acima pode ser complicada devido às derivadas envolvidas e à natureza da função f ( x ) . Portanto, é recomendável utilizar um software de cálculo simbólico ou uma calculadora gráfica para obter soluções aproximadas para a .

Resposta

Infelizmente, a análise da equação acima pode ser complicada devido às derivadas envolvidas e à natureza da função f ( x ) . Portanto, é recomendável utilizar um software de cálculo simbólico ou uma calculadora gráfica para obter soluções aproximadas para a .

Em resumo, o processo acima ajuda a encontrar os valores de a para os quais a área de T a é mínima. Lembre-se de que essa análise pode envolver cálculos mais complexos e requer o uso de ferramentas de cálculo adequadas.

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