Dados os paraboloides z = 3 x 2 + 3 y ² e z = 4 - x 2 - y ²

  1. Escreva a integral do volume correspondente.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos o Volume, vamos usar:

V = ∭ d V

Como nosso sólido tem simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

J = r

e a gente pegar o primeiro paraboloide, vamos ter

z = 3 x 2 + 3 y ²

Vamos isolar o 3 e passar para a esquerda dividindo:

x 2 + y 2 = z 3

Reparem que temos uma circunferência de raio z 3 . No caso, o valor de z vai representar a altura do paraboloide:

Passo 2

Agora vamos montar o do segundo parabolóide. Vamos ter

z = 4 - x 2 - y ²

Aqui vamos fazer o mesmo processo do Passo 1:

z = 4 - x 2 - y ²

x 2 + y ² = 4 - z

Reparem que temos uma circunferência de raio 4 - z . No caso, o valor de z vai representar a altura.

Lembrando que:

4 - z ≥ 0

4 - z ≥ 0

z ≤ 4

Com isso, o sólido limitado por ambos os paraboloides vai ser:

Resposta

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