Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x ² , que seja paralela à reta y = 1 - x . Esboçar os gráficos da função, da reta dada e da reta tangente encontrada. Determine, também, a reta normal à essa curva passando pelo ponto de tangência.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar a equação de uma reta que tenha duas propriedades: i) ela tem que ser paralela à reta   y   =   1   -   x e ii) ela tem que ser tangente à curva 1   -   x ² em algum ponto. Primeiro, vamos dar uma olhada no gráfico dessas duas funções, beleza?

Bem, primeiro, a reta que procuramos tem que ser paralela à reta vermelha. Mas quando duas retas são paralelas? Quando elas têm o mesmo coeficiente angular! Então, como o coeficiente angular da reta y   =   1   -   x é igual à -1, sabemos que a reta que procuramos possui coeficiente angular igual -1. Tá, mas e agora? Ora, agora precisamos descobrir qual é o valor de x que vai nos dar uma reta tangente à curva verde com esse coeficiente. Para isso, vamos calcular a derivada da função, já que ela nos dá o coeficiente da reta tangente à uma curva em cada ponto.

Passo 2

Então, bora derivar y   =   1   -   x 2 . Como a derivada da soma de funções é a soma da derivada dos termos individuais e, como 1 é uma constante, só precisamos derivar x ² para obter uma função que vai nos dar a inclinação da reta tangente à curva y(x) em cada ponto. Fazendo isso, temos

y ' ( x )   =   - 2 x

Agora ficou fácil descobrir qual é o valor de x para o qual a reta tangente tem inclinação -1: é só igualar isso à expressão que encontramos para a derivada! Então, vamos fazer isso:

- 2 x =   - 1

Ok, agora sabemos em que ponto x a reta tangente tem a mesma inclinação da reta dada. Mas, e agora? Falta mais alguma coisa, não? Bem, realmente, falta. Uma reta possui dois parâmetros: o coeficiente angular (que já foi determinado) e o coeficiente linear, que ainda não sabemos. O coeficiente linear não vai afetar em nada o paralelismo das duas retas, mas só existe uma reta com coeficiente angular -1 que irá ser tangente à curva y   =   1   -   x 2 no ponto com abscissa x = 1 2 .

Descobrir o coeficiente linear é bem simples: como sabemos que a reta tangente tem que passar pelo ponto com abscissa x   =   1 2 e ordenada y   =   3 4 , basta substituir esses valores de coordenadas na equação da reta y   = a x   +   b com o valor de a que obtivemos:

y ( 1 2 )   = 3 4   =   - 1 × 1 2   + b

Então, o valor do coeficiente linear da reta procurada é 5 4 . Com isso determinamos a equação da reta tangente procurada: y ( x )   =   - x   + 5 4 , com vemos na reta azul da figura abaixo.

Passo 3

Agora só falta determinar a reta normal no ponto ( 1 2 , 3 4 ) . E como a gente pode fazer isso? Como a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente, que é exatamente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x, a gente sabe que um vetor que faça um ângulo de 135º graus com o eixo x tem a mesma direção da reta! Então, se pegarmos um vetor de componentes (-1,1), sabemos que ele tem a mesma direção da reta tangente porque o cateto oposto sobre o cateto adjacente é t g θ   =   - 1 1 . Então, um segundo vetor com componentes (a,b) que tenha a mesma direção nossa reta normal tem que ser ortogonal ao vetor (-1,1) e deve passar pelo ponto ( 1 2 ,   3 4 ). Para que os vetores sejam ortogonais, precisamos que o produto escalar seja nulo: - 1 × a   +   1 × b = 0 . Assim, para determinar um vetor, só precisamos que sua componente a seja igual à componente b. Então, a tangente da reta normal tem que ser t g θ   =   a b   =   b b   =   1 . Logo, a inclinação da reta normal é igual à 1. Já determinamos a direção da reta, agora só precisamos que ela passe pelo ponto ( 1 2 ,   3 4 ). Então, vamos colocar essas coordenadas na equação da reta para determinar o coeficiente linear:

y ( 1 2 )   = 3 4   =   1 × 1 2   +   b

Então, b   =   1 4 . Logo, a equação da reta normal é y ( x )   =   x   +   1 4 . A reta normal está ilustrada na figura abaixo:

Resposta

Equação da reta tangente: y ( x )   =   - x   +   5 4

Equação da reta normal: y ( x )   = x + 1 4  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1