3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

a) y = x 2 - 3 , P 2,1

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 2 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 1,99 , então:

y Q = x Q 2 - 3

= 1,99 2 - 3

= 0,9601

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 0,9601 - 1 1,99 - 2

= 3,99

- Segundo ponto pode ser x Q = 2,001 , então:

y Q = x Q 2 - 3

= 2,001 2 - 3

= 1,004001

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 1,004001 - 1 2,001 - 2

= 4,001

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= 3,99 + 4,001 2

= 3,9955

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = 3,9955 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

1 = 3,9955 ⋅ 2 + b

b = - 6,991

Portanto, a reta tangente é:

y = 3,9955 x - 6,991

Resposta

m = 3,9955

y = 3,9955 x - 6,991

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