3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

c) y = x 2 - 2 x - 3 ,   P 2 , - 3

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 2 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 1,99 9 , então:

y Q = x Q 2 - 2 x Q - 3

= 1,999 2 - 2 1,999 - 3

= - 3,001999

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= - 3,001999 - - 3 1,99 9 - 2

= 1 , 9 9 9

- Segundo ponto pode ser x Q = 2,01 , então:

y Q = x Q 2 - 2 x Q - 3

= 2,01 2 - 2 2,01 - 3

= - 2,9799

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= - 2,9799 - - 3 2,01 - 2

= 2,01

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= 1,999 + 2,01 2

= 2,0045

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = 2,0045 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

- 3 = 2,0045 ⋅ 2 + b

b = - 7,009

Portanto, a reta tangente é:

y = 2,0045 x - 7,009

Resposta

m = 2,0045

y = 2,0045 x - 7,009

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1