3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

d) y = x 3 ,   P 2,8

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 2 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 1,999 , então:

y Q = x Q 3

= 1,999 3

= 7,988006

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 7,988006 - 8 1,99 9 - 2

= 11,994

- Segundo ponto pode ser x Q = 2,01 , então:

y Q = x Q 3

= 2,01 3

= 8,120601

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 8,120601 - 8 2,01 - 2

= 12,0601

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= 11,994 + 12,0601 2

= 12,02705

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = 12,02705 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

8 = 12,02705 ⋅ 2 + b

b = - 16,0541

Portanto, a reta tangente é:

y = 12,02705 x - 16,0541

Resposta

m = 12,02705

y = 12,02705 x - 16,0541

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