3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

e) y = x 3 - 12 x ,   P 1 , - 11

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 1 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 0 , 999 , então:

y Q = x Q 3 - 12 x Q

= 0 , 999 3 - 12 0,999

= - 10,9901

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= - 10,9901 - - 11 0 , 999 - 1

= - 9,9

- Segundo ponto pode ser x Q = 1 , 01 , então:

y Q = x Q 3 - 12 x Q

= 1,01 3 - 12 1,01

= - 1 1,0897

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= - 11,0897 - - 11 1,01 - 1

= - 8,97

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= - 9,9 - 8,97 2

= - 9,435

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = - 9,435 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

- 11 = - 9,435 ⋅ 1 + b

b = - 1,565

Portanto, a reta tangente é:

y = - 9,435 x - 1,565

Resposta

m = - 9,435

y = - 9,435 x - 1,565

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