3. Determine o coeficiente angular da curva no ponto P dado e uma equação da reta tangente em P .

f) y = x 3 - 3 x 2 + 4 ,   P 2,0

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar o coeficiente angular da curva (aqui ele quis dizer da reta tangente) no ponto P x p , y p e depois calcular a equação da reta tangente nesse ponto.

Pra isso, vamos achar dois valores (aleatórios mesmo) de x beeem próximos de x p e calcular o y . Chamamos cada ponto desse de Q .

Daí teremos duas retas secantes P Q (ligando o ponto P a cada um dos dois pontos).

Calculamos a inclinação de cada reta secante P Q :

m i = y Q i - y P x Q i - x P

Fazemos a média entre as duas inclinações:

m = m 1 + m 2 2

Essa média será uma estimativa do coeficiente angular da reta tangente no ponto P .

Depois disso tudo usamos a equação da reta genérica:

y = a x + b

Mas já temos o a , que é o m que encontramos anteriormente, o coeficiente angular da reta tangente.

Pra achar o b substituímos o ponto P .

Vamos botar a mão na massa pra entender melhor...

Passo 2

Primeiro vamos dizer dois valores aleatórios, mas bem próximos de x p = 2 .

- Primeiro ponto pode ser x Q = 1,99 , então:

y Q = x Q 3 - 3 x Q 2 + 4

= 1,99 3 - 3 1,99 2 + 4

= 0,000299

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 0,000299 - 0 1,99 - 2

= - 0,0299

- Segundo ponto pode ser x Q = 2,01 , então:

y Q = x Q 3 - 3 x Q 2 + 4

= 2,01 3 - 3 2,01 2 + 4

= 0,000 301

Calculando a inclinação da reta secante P Q :

m 1 = y Q 1 - y P x Q 1 - x P

= 0,000 301 - 0 2,01 - 2

= 0,0301

Fazendo a média entre os dois:

m = m 1 + m 2 2

= - 0,0299 + 0,0301 2

= 0,0001

Esse é o coeficiente angular da reta tangente em P .

Passo 3

Pra achar a equação da reta tangente em P usamos:

y = a x + b

Como a = m , então:

y = 0,0001 x + b

Pra achar o b , substituímos o ponto P :

0 = 0,0001 ⋅ 2 + b

b = 0,0002

Portanto, a reta tangente é:

y = 0,0001 x + 0,0002

Resposta

m = 0,0001

y = 0,0001 x + 0,0002

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