Determine todos os números positivos a tais que a curva y = a x corta a reta y = x .

Passo 1

Faaala galera, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um conjunto de funções f ( x ) dadas por:

y = f x = a x

Dizemos que é um conjunto porque a função depende do valor de a que estamos adotando.

O enunciado nos pede para determinar todos os valores positivos de a que fazem a curva y = a x cortar a reta y = x .

Sacaram?

Então, deve existir uma quantidade infinita de valores de a que satisfazem o que a questão está pedindo. Portanto, não vamos determiná-los um a um, mas iremos determinar o último valor de a que satisfaz o que a questão pede, ou limite máximo para a .

A ideia então é esboçar essa situação limite e usar a equação da reta tangente da curva para relacionar com a reta y = x .

Vem comigo que vai ficar top 😊

Passo 2

Bom, pra começar vamos entender o que acontece na situação limite, ou seja, no último valor de a que faz a curva intersectar a reta y = x .

Imagina que temos um valor bem pequeno de a , então a curva deve cortar a reta y = x em dois pontos. À medida que aumentamos o valor de a , esses dois pontos de intersecção vão se aproximando, até que na situação limite, a curva é tangenciada pela reta y = x .

Ou seja, sendo x = z o ponto em que ocorre essa intersecção, temos que a reta y = x é a tangente da curva nesse ponto.

Beleza?

Assim, calculando a derivada da curva, temos:

f ' x = ( a x ) '

= a x ln ⁡ a

A derivada no ponto:

x = z

Vale:

f ' z = a z ⋅ ln ⁡ a

Como sabemos, a derivada da curva em um determinado ponto representa o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto.

Ou seja:

f ' z = a z ⋅ ln ⁡ a

deve representar o coeficiente angular da reta:

y = x

Logo:

a z ⋅ ln ⁡ a = 1

∴ ln ⁡ a = a - z

Massa! Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

O grande problema dessa equação é que queremos determinar o valor de a (que é o máximo valor de a que satisfaz a condição do enunciado), mas não temos o ponto z da intersecção.

Assim, precisamos de mais uma relação.

Podemos usar que, quando à intersecção entre a curva e a reta, vale que:

y = z

y = a z

Logo:

z = a z

Daí, aplicando o l n temos:

ln ⁡ z = z ⋅ ln ⁡ a

∴ 1 z ⋅ ln ⁡ z = ln ⁡ a

Pela propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ z 1 z = ln ⁡ a

Daí, fazendo o exponencial dos dois lados da equação:

z 1 z = a

Excelente! Substituindo esse valor na equação vamos que encontramos no passo anterior, ficamos com:

ln ⁡ z 1 z = z 1 z - z

ln ⁡ z 1 z = z - 1

Pela propriedade do logaritmo:

1 z ⋅ ln ⁡ z = 1 z

Logo:

ln ⁡ z = 1

Aplicando o exponencial:

z = e

onde e é o número de Euler.

Estamos quase terminando pessoal!

Como havíamos achado que:

z 1 z = a

Temos:

a = e 1 e

Uhuuuul! Esse é o valor limite dos possíveis valores de a que faz com que a curva y = a x corte a reta y = x .

Portanto, qualquer valor de a menor ou igual a esse também satisfaz o nosso problema.

Daí:

a ≤ e 1 e

E é isso pessoal!!

Terminamos! Espero que vocês tenham curtido a solução!

Até a próxima 😊

Resposta

a ≤ e 1 e

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1