Determine os valores das constantes a e b para que o gráfico da função h x = a + b sin 2 ⁡ ( x / 2 ) e a curva definida implicitamente por y cos ⁡ x + x y = 5 π x tenham a mesma reta tangente no ponto π 2 ,   5 π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes a e b , de forma que o gráfico de h x = a + b sin 2 ⁡ ( x / 2 ) e a curva y cos ⁡ x + x y = 5 π x tenham a mesma reta tangente no ponto π 2 ,   5 π .

Bom, se elas possuem a mesma reta tangente, elas possuem o mesmo coeficiente angular, certo? Então, vamos achar esse coeficiente angular e encontrar o valor da função no ponto dado, pra que a gente consiga determinar o valor de a e b .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a equação da curva h x = a + b sin 2 ⁡ ( x / 2 ) :

h ' ( x ) = d d x a + b sin 2 ⁡ ( x / 2 )

Usando a regra da cadeia, temos:

h ' x = 2 b sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 ∙ 1 2

h ' x = b sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2

Pra x = π 2 , que é o nosso ponto de tangência, temos:

h ' π 2 = b sin ⁡ π / 2 2 cos ⁡ π / 2 2

h ' π 2 = b 2

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente a equação da curva y cos ⁡ x + x y = 5 π x :

d d x ( y cos ⁡ x + x y ) = d d x ( 5 π x )  

A gente deriva normalmente em relação a x , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o y aparece, consideramos que ele é uma função de x ( y ( x ) ) e acrescentamos o termo y ' (que representa a derivada de y em relação a x ). Então, fica assim:

y ' cos ⁡ x - y sin ⁡ x + y + x y ' = 5 π

Repare que nós usamos a regra do produto na derivada dos termos. Agora substituindo o ponto x = π 2 e y = 5 π , temos:

y ' cos ⁡ π 2 - 5 π sin ⁡ π 2 + 5 π + π 2 y ' = 5 π

0 - 5 π + 5 π + π 2 y ' = 5 π

Simplificando, vamos obter:

y ' = 10

Como os coeficientes angulares precisam ser iguais, vamos ter h ' π 2 = b 2 igual a y ' = 10 , então:

b 2 = 10 → b = 20

Passo 4

Agora para encontrar o valor de a , vamos calcular h x = a + b sin 2 ⁡ ( x / 2 ) em x = π 2 :

h π 2 = a + b sin 2 ⁡ π / 2 2

h π 2 = a + b sin 2 ⁡ π 4

Como sin 2 ⁡ π 4 = 2 2 2 = 1 2 , vamos ter:

h π 2 = a + b 2

Como y = 5 π , temos:

a + b 2 = 5 π

Além disso, no passo 3 nós encontramos b = 20 , então, resolvendo pra a vamos ter:

a + 20 2 = 5 π

a + 10 = 5 π

a = 5 π - 10

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 5 π - 10

b = 20

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