Encontre a equação da reta tangente à curva y = c o s ⁡ ( cos ⁡ θ ) no ponto π 2 ,   1

Passo 1

Oiiiii galerinha, tudo bom com vocês?? Espero que sim!

Esse nosso probleminha de cálculo 1 se refere a reta tangente à uma curva. Então, dada uma curva y = c o s ⁡ ( cos ⁡ θ ) devemos encontrar a reta tangente à essa curva no ponto π 2 ,   1 . O que geralmente sabemos de reta tangente é que essa reta toca em apenas um ponto da minha curva. Logo, como uma curva é formado com infinitos pontos teremos infinitas retas tangentes, ou melhor, uma para cada ponto da curva. Então pessoal, como poderíamos resolver essa questão???

Passo 2

O primeiro passo que vamos dar para resolver essa questão é escrever a equação da reta.

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Bom, s�� que quando estudamos o assunto de derivadas “mudamos” um pouquinho como vemos a fórmula acima. Isso porque não olhamos mais para o m apenas como um coeficiente angular, passamos a olhar para ele como a derivada da curva no ponto dado.

Sendo assim,

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ótimo! Então já sabemos que o nosso próximo passo é encontrar a derivada da nossa curva ( y ' ) .

y = c o s ⁡ ( cos ⁡ θ )

Como a curva y se comporta como uma função dentro da outra, isso é temos uma função cosseno funcionando como domínio de outra função cosseno. Para derivarmos essa curva vamos ter que aplicar uma regrinha especial! Qual seria?

Passo 3

Se sua resposta foi regra da cadeia, você acertou em cheio!

A regra da cadeia diz:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Seguindo esse modelinho, podemos afirmar que

y ' =   c o s ' ( cos ⁡ θ ) ∙ ( c o s   θ ) '

y ' =   - s e n ( cos ⁡ θ ) ( - s e n   θ )

y ' = s e n ( cos ⁡ θ ) ( s e n   θ )

Perfeito! Más para podermos utilizar na nossa equação da reta teremos ainda que encontrar o y ' π 2 .

Basta substituirmos o ponto na equação acima...

y ' π 2 = s e n ( cos ⁡ π 2 ) ( s e n π 2 )

y ' π 2 = 0 ⋅ 1

y ' π 2 = 0

Passo 4

Bom, agora podemos substituir o nosso coeficiente angular na equação da reta apresentada no passo um.

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

y - y 0 = 0 ∙ ( x - x 0 )

y - y 0 = 0

Para finalizarmos, precisamos substituir as coordenadas do nosso ponto π 2 ,   1 na equação da reta.

Logo,

y - 1 = 0

y   =   1

Então pimpolhos, acabou que foi preciso utilizar só o y 0 do meu ponto fornecido. Uma vez que o coeficiente angular deu igual a zero. Significando que a reta tangente a curva nesse ponto é constante e paralela ao eixo x. No entanto, nem sempre é assim. Tomem cuidado!

Bons Estudos! :)

Resposta

y   =   1

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