Encontre uma equação para a reta tangente à curva y = 2 x 2 + 3 que seja paralela à reta 8 x - y + 3 = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos descobrir a equação da reta tangente à curva y = 2 x 2 + 3 de tal forma que esta seja paralela a seguinte reta rearranjada:

8 x - y + 3 = 0 ∴

y = 8 x + 3

Para isso, precisamos primeiramente descobrir qual é o coeficiente angular da segunda reta e aplicar na primeira (pois retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular!!).

Para isso, temos que ter em mente que a equação de uma reta é dada por:

y = m x + b

Onde m é o coeficiente angular da reta.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... comparando a equação y = 8 x + 3 com a fórmula da equação da reta, vemos que o nosso coeficiente angular é:

m = 8

Agora vamos aplicar a derivada na equação da curva para descobrirmos a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva:

d d x 2 x 2 + 3 = 4 x

Assim, como queremos encontrar o ponto no qual a tangente tem a mesma inclinação, então igualamos:

f ' x = m ∴

4 x = 8 ∴

x = 2

E, avaliando a função original nesse ponto, temos o valor de y correspondente:

y = 2 2 2 + 3 ∴

y = 11

Portanto, o ponto 2,11 é o ponto em que a reta apresenta a mesma inclinação (ou seja, paralela).

Passo 3

Agora podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta para encontrar a equação da reta tangente:

y - y 0 = m x - x 0 ∴

y - 11 = 8 x - 2 ∴

y = 11 + 8 x - 16 ∴

y = 8 x - 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 8 x - 5

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