Encontre a equação da reta tangente à função g x = 2 x ln ⁡ 6 x - 3 2 x - 1 em x = 1 6 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão quer que a gente encontre a equação da reta tangente à função g x = 2 x ln ⁡ 6 x - 3 2 x - 1 no ponto x = 1 6 .

Para isso, temos que ter em mente que a equação de uma reta é dada por:

y = m x + b

Onde m é o coeficiente angular da reta e b é o ponto de interseção da reta tangente com o eixo y .

Assim, temos que fazer esse m ser o mesmo da reta tangente no ponto em que queremos descobrir.

E para isso devemos derivar a função e fazer x = 1 6 para encontrarmos o m .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... Primeiramente vamos derivar g x .

Vamos aplicar a regra do quociente, que é dada por:

f h ' = h f ' - f h ' h 2

Assim, temos:

g ' x = d d x 2 x ln ⁡ 6 x - 3 2 x - 1 - d d x 2 x - 1 2 x ln ⁡ 6 x - 3 2 x - 1 2 ∴

g ' x = 2 ln ⁡ 6 x + 1 2 x - 1 - 2 2 x ln ⁡ 6 x - 3 2 x - 1 2 ∴

g ' x = 4 x - 2 ln ⁡ 6 x + 4 2 x - 1 2

Passo 3

Agora, vamos fazer x = 1 6 na derivada para descobrirmos o coeficiente angular m naquele ponto:

m = g ' 1 6 = 4 1 6 - 2 ln ⁡ 6 1 6 + 4 2 1 6 - 1 2 ∴

m = 21 2

Utilizando o m que acabamos de descobrir e o ponto 1 6 ,   g 1 6 na equação da reta, podemos encontrar o valor de b :

y = m x + b ∴

g 1 6 = 21 2 * 1 6 + b ∴

2 1 6 ln ⁡ 6 1 6 - 3 2 1 6 - 1 = 21 2 * 1 6 + b ∴

9 2 = 21 12 + b ∴

b = 11 4

Assim, encontramos a equação da reta tangente no ponto x = 1 6 :

y = 21 2 x + 11 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 21 2 x + 11 4

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