Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da curva 2 x 2 y 2 + y 3 cos ⁡ ( π x ) - 1 = 0 no ponto ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a reta tangente ao gráfico da curva 2 x 2 y 2 + y 3 cos ⁡ ( π x ) - 1 = 0 no ponto ( 1 ,   1 ) .

Pra isso, vamos precisar derivar implicitamente a função e aplicar o ponto x = 1 e y = 1 na equação que encontrarmos. Lembrando que pra derivar implicitamente a gente deriva normalmente em relação a x , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o y aparece, consideramos que ele é uma função de x ( y ( x ) ) e acrescentamos o termo y ' (que representa a derivada de y em relação a x ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando 2 x 2 y 2 + y 3 cos ⁡ ( π x ) - 1 = 0 :

d d x 2 x 2 y 2 + y 3 cos ⁡ π x - 1 = d d x ( 0 )

No lado direito, como temos uma constante, o valor da derivada também será nulo. No lado esquerdo, vamos separar as derivadas de cada termo da soma:

d d x 2 x 2 y 2 + d d x y 3 cos ⁡ π x - d d x 1 = 0

Derivando cada termo como uma função de x , vamos ter:

4 x y 2 + 4 x 2 y y ' + 3 y 2 cos ⁡ ( π x ) - y 3 sin ⁡ π x π = 0

Repare que nos termos 2 x 2 y 2   e y 3 cos ⁡ π x a gente aplica a regra da cadeia junto com a regra do produto na derivação, beleza? Agora substituindo x = 1 e y = 1 na equação, temos:

4 ( 1 ) 1 2 + 4 1 2 ( 1 ) y ' + 3 ( 1 ) 2 cos ⁡ ( π ∙ 1 ) - ( 1 ) 3 sin ⁡ π ∙ 1 π = 0

4 + 4 y ' + 3 - 1 - 0 = 0

Isolando y ' :

4 y ' = - 4 + 3

y ' = - 1 4

Tá, mas esse é o coeficiente angular da reta e a gente quer saber a equação dessa reta tangente.

Passo 3

Pra encontrar a equação da reta, vamos usar:

y - y 0 = m x - x 0

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o nosso ponto ( 1 ,   1 ) e m é o coeficiente angular da reta, que encontramos no passo anterior. Substituindo, temos:

y - 1 = - 1 4 ( x - 1 )

y = - x 4 + 5 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = - x 4 + 5 4

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