Encontre as equações das retas tangentes às curvas dadas nos pontos dados. Esboce o gráfico e a reta tangente.

a )   f ( x ) = x 2 + 4 x - 13 ,   P = ( 4 , f ( 4 ) )   e   Q = ( 0 , f ( 0 ) ) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função e pontos

a )   f ( x ) = x 2 + 4 x - 13 ,   P = ( 4 , f ( 4 ) )   e   Q = ( 0 , f ( 0 ) ) .

precisamos usar isso para calcular a reta tangente da função em ambos os pontos. Para isso precisamos lembrar que a derivada de uma função avaliada em um ponto é a inclinação da reta tangente neste ponto! Ou seja

m = l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a

Sendo assim, vamos calcular a derivada e usar isso para calcular as nossas retas, e no final, esboçar isso tudo! Bora lá!

Passo 2

Aplicando a função e o ponto em nossa definição, temos que

m = l i m x → 4 x 2 + 4 x - 13 - [ 4 2 + 4 ( 4 ) - 13 ] x - 4 = l i m x → 4 x 2 + 4 x - 32 x - 4

é possível fatorar o denominador de forma que

m = l i m x → 4 ( x - 4 ) 2 + 12 x - 48 x - 4

note que precisei completar o primeiro quadrado somando e subtraindo 8 x + 16 , agora, se evidenciarmos alguns termos, temos que

m = l i m x → 4 ( x - 4 ) 2 x - 4 + 12 l i m x → 4 x - 4 x - 4 = l i m x → 4 ( x - 4 ) + 12 l i m x → 4 1

ou simplesmente

m = 12

ou seja, no ponto P ( 4 ,   19 ) temos uma reta de inclinação 12 . Ou seja

y = 12 x + a

como temos que o ponto P ( 4,19 ) pertence a reta, precisamos que

19 = 12 ( 4 ) + a → a = - 29

e, a reta é a seguinte

y = 12 x - 29

Vamos calcular no outro ponto agora!

Passo 3

A definição no outro ponto se torna

m = l i m x → 0 x 2 + 4 x - 13 - [ 0 2 + 4 ( 0 ) - 13 ] x - 0 = l i m x → 0 x 2 + 4 x x

ou simplesmente

m = l i m x → 0 x + 4 = 4

ou seja, uma reta de inclinação m = 4 que passa pelo ponto Q ( 0 , - 13 ) , ou seja

y = 4 x - 13

Os esboços são o seguinte

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = 12 x - 29 e y = 4 x - 13

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