Encontre as equações das retas tangentes às curvas dadas nos pontos dados. Esboce o gráfico e a reta tangente.

c )   y = x 2 - | x | ,   P = ( 1,0 ) e Q = ( - 1,0 )

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função e pontos

c )   y = x 2 - | x | ,   P = ( 1,0 ) e Q = ( - 1,0 )

precisamos usar isso para calcular a reta tangente da função em ambos os pontos. Para isso precisamos lembrar que a derivada de uma função avaliada em um ponto é a inclinação da reta tangente neste ponto! Ou seja

m = l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a

Note que y = f ( x ) e P = ( a , f ( a ) ) . Sendo assim, vamos calcular a derivada e usar isso para obter as nossas retas! Note que também iremos precisar algumas propriedades da função módulo! Saca só!

Passo 2

Aplicando a função e o ponto em nossa definição, temos que

m = l i m x → 1 x 2 - | x | - 0 x - 1 = l i m x → 1 x 2 - | x | x - 1

note que nas proximidades de x = 1 , temos que | x | = x , sendo assim, podemos simplificar a expressão para

m = l i m x → 1 x 2 - x x - 1 = l i m x → 1 x ( x - 1 ) ( x - 1 )

ou simplesmente

m = l i m x → 1 x = 1

ou seja, no ponto P = ( 1,0 ) temos uma reta de inclinação 1 . Ou seja

y = x + a

como temos que o ponto P ( 1,0 ) pertence a reta, precisamos que

0 = 1 ( 1 ) + a → a = - 1

e, a reta é a seguinte

y = x - 1

Vamos calcular no outro ponto agora!

Passo 3

No outro ponto temos que

m = l i m x → - 1 x 2 - | x | - 0 x + 1 = l i m x → - 1 x 2 - | x | x + 1

só que agora, nas proximidades de x = - 1 , temos que a função módulo é tal que | x | = - x , e portanto, novamente, podemos simplificar a expressão

m = l i m x → - 1 x 2 + x x + 1 - l i m x → - 1 x ( x + 1 ) x + 1

de forma que

m = - 1

e, analogamente ao que fizemos anteriormente, a reta tangente é

y = - 1 - x

O esboço do gráfico e de ambas as retas é

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y = x - 1 e y = - 1 - x

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