Encontre uma parábola y = a x 2 + b x + c que passa pelo ponto - 1,1 e cujas retas tangentes em x = - 1 e x = 2 tenham inclinações 2 e - 1 respectivamente.

Passo 1

Definindo a,b

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente pode enunciar aqui a equação de uma reta tangente. Pra qualquer função y = f x , a reta tangente a ela no ponto x 0 , y 0 terá sempre a seguinte cara:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

Onde m é a inclinação da reta, e é representada matematicamente pelo valor da primeira derivada no ponto de tangência, ou seja:

m = f ' x 0

Como sabemos a cara da função, derivamos:

y 0 = f x 0 = a x 0 2 + b x 0 + c

m = f ' x 0 = 2 a x 0 + b

Até aqui tudo bem, mas pensa comigo: são três incógnitas pra achar e somente dois pontos pra trabalhar, tem algo errado aí! Bem, realmente tem, mas veja que na equação de m , só duas incógnitas aparecem! E do enunciado, temos:

x 0 = - 1 m = 2       e       x 0 = 2 m = - 1

Opa! Conseguimos montar um sisteminha com esses valores! Saca só:

2 = - 2 a + b - 1 = 4 a + b

Multiplicando a primeira equação por 2 , temos:

4 = - 4 a + 2 b - 1 = 4 a + b

Somando as duas, chegamos a:

3 b = 3

b = 1

Usando esse valor na segunda equação, temos:

- 1 = 4 a + 1

- 2 = 4 a

a = - 2 4 = - 1 2

E bem, modelamos parte da parábola já:

f x = - 1 2 x 2 + x + c

Passo 2

Definindo c

Agora a gente vai achar o último parâmetro da parábola usando a única informação que não usamos ainda: o ponto - 1 , 1 , que pelo enunciado, faz parte dela. Sendo assim, temos:

1 = - 1 2 ∙ - 1 2 - 1 + c

1 = - 1 2 - 1 + c

c = 1 + 1 + 1 2 = 2 + 1 2 = 4 2 + 1 2

c = 5 2

E ta na mão! A equação vai ser:

f x = - 1 2 x 2 + x + 5 2

Passo 3

Confirmação gráfica

Essa parte aqui não precisa, mas é só pra ilustrar e ficar bonitinho pra vocês! Sendo:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

y = f x 0

As duas tangentes serão:

y = 2 ∙ x + 1 + f - 1

y = - 1 ∙ x - 2 + f 2

E o gráfico de f x considerando essas tangentes tem essa cara:

Resposta

f x = - 1 2 x 2 + x + 5 2

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Esboce o gráfico de uma função f para a qualf (0) = 0 , f^' (0) = 3 , f^' (1) = 0 e f^' (2) = - 1
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )