Encontre uma parábola y = a x 2 + b x + c que passa pelo ponto 2,1 e cujas retas tangentes em x = - 1 e x = 3 tenham inclinações 4 e - 2 respectivamente.

Passo 1

Definindo a,b

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente pode enunciar aqui a equação de uma reta tangente. Pra qualquer função y = f x , a reta tangente a ela no ponto x 0 , y 0 terá sempre a seguinte cara:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

Onde m é a inclinação da reta, e é representada matematicamente pelo valor da primeira derivada no ponto de tangência, ou seja:

m = f ' x 0

Como sabemos a cara da função, derivamos:

y 0 = f x 0 = a x 0 2 + b x 0 + c

m = f ' x 0 = 2 a x 0 + b

Até aqui tudo bem, mas pensa comigo: são três incógnitas pra achar e somente dois pontos pra trabalhar, tem algo errado aí! Bem, realmente tem, mas veja que na equação de m , só duas incógnitas aparecem! E do enunciado, temos:

x 0 = - 1 m = 4       e       x 0 = 3 m = - 2

Opa! Conseguimos montar um sisteminha com esses valores! Saca só:

4 = - 2 a + b - 2 = 6 a + b

Multiplicando a primeira equação por 3, temos:

12 = - 6 a + 3 b - 2 = 6 a + b

Somando as duas, chegamos a:

4 b = 10

b = 10 4 = 5 2

Usando esse valor na segunda equação, temos:

- 2 = 6 a + 5 2

- 4 = 12 a + 5

12 a = - 9

O que resulta em:

a = - 9 12 = - 3 4

E bem, modelamos parte da parábola já:

f x = - 3 4 x 2 + 5 2 x + c

Passo 2

Definindo c

Agora a gente vai achar o último parâmetro da parábola usando a única informação que não usamos ainda: o ponto 2,1 , que pelo enunciado, faz parte dela. Sendo assim, temos:

1 = - 3 4 ∙ 2 2 + 5 2 ∙ 2 + c

1 = - 3 4 ∙ 4 + 5 + c

- 4 = - 3 + c

c = - 1

E ta na mão! A equação vai ser:

f x = - 3 4 x 2 + 5 2 x - 1

Passo 3

Confirmação gráfica

Essa parte aqui não precisa, mas é só pra ilustrar e ficar bonitinho pra vocês! Sendo:

y = m ∙ x - x 0 + y 0

y = f x 0

As duas tangentes serão:

y = 4 ∙ x + 1 + f - 1

y = - 2 ∙ x - 3 + f 3

E o gráfico de f x considerando essas tangentes tem essa cara:

Resposta

f x = - 3 4 x 2 + 5 2 x - 1

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