Encontre os pontos sobre a elipse x 2 + 2 y 2   =   1 onde a reta tangente tem inclinação 1. Para esses pontos determine, também, a equação da reta normal à curva.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcular os pontos (x,y) onde a reta tangente à elipse possui inclinação igual à 1. Bem, a gente sabe que para calcular a inclinação de uma função precisamos calcular a sua derivada. No entanto, precisamos notar que mesmo se escrevermos y em função de x, uma elipse não é uma função, porque para cada x existe mais de uma imagem, visto que tantos valores positivos da raiz ±   1 - x 2 2 quanto negativos são solução para y(x). Mas, nem tudo está perdido! Apesar de não podermos escrever a elipse inteira como uma função, sabemos que ela é simétrica em x. Dá uma olhada na figura abaixo:

Da figura, devido a simetria da elipse, a gente percebe que, para um dado x, teremos uma reta tangente para a parte positiva da função (correspondente à y ( x )   =   1 - x 2 2   ) e uma reta tangente para a parte negativa (correspondente à y ( x )   =   - 1 - x 2 2   ) que serão iguais em módulo para o mesmo x, visto que a única distinção entre as curvas é o sinal. Outro ponto importante a ser notado é que, os únicos pontos onde as retas tangentes à elipse são positivas são nos quadrantes y ≥ 0 ,   x ≤ 0 e y ≤ 0 ,   x ≥ 0 . Com isso, podemos derivar a “função” e utilizar as simetrias da elipse para determinar os pontos que procuramos. Então, bora lá!

Passo 2

Bem, agora nossa missão é derivar y ( x )   =   1 - x 2 2   em relação a x. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia. Definindo as funções h ( w )   = w 2   e w ( x )   =   1 - x 2 , podemos escrever a função y(x) como y ( x )   =   h ( w ( x ) ) . Pela regra da cadeia, temos que a derivada de y em relação à x é:

y ' ( x )   =   d d x y ( x )   =   d d w h ( w ) × d d x w ( x )   =   1 2 2 ( 1 - x 2 ) ( - 2 x )   = - x 2 ( 1 - x 2 )  

Dessa expressão vemos que, quando x   =   - 2 3 , y ' ( - 2 3 ) = 1 . Portanto, substituindo esse valor de x na equação da elipse, obtemos que os pontos sobre a elipse que possuem reta tangente com inclinação igual à 1 são - 2 3 , 1 6   e 2 3 , - 1 6   .

Passo 3

Bem, como a inclinação das retas tangentes é igual à 1, temos que um vetor com componentes (1,1) possui a mesma direção, já que a tangente do ângulo que esse vetor faz com o eixo x também é 1 t g θ = 1 1 = 1 . Então, para determinar as retas normais, precisamos encontrar um vetor de componentes (a,b) ortogonal ao vetor (1,1). Assim, o produto escalar entre esses vetores precisa ser 0.

a × 1 + b × 1 = 0

Logo, temos a seguinte restrição para as componentes do vetor (a,b): a = - b . Então, a inclinação da reta normal é igual à b a = - a a = - 1 . Agora que já determinamos o coeficiente angular, só precisamos determinar os coeficientes lineares das retas! Bem, sabemos que uma das nossas retas tem que passar pelo ponto - 2 3 , 1 6   . Podemos substituir essas coordenadas e o coeficiente angular na equação da reta y ( x ) =   a x + b para determinar o valor de b. Fazendo isso para a primeira reta, obtemos

y 1 ( x )   = 1 6   = ( - 1 ) × - 2 3 + b 1   ⇔   b 1 =   - 1 6

e para a segunda reta, utilizando o ponto 2 3 , - 1 6   , temos

y 2 ( x )   = - 1 6   = ( - 1 ) × 2 3 + b 2   ⇔   b 2 =   1 6

Então, as equações das retas normais nos pontos - 2 3 , 1 6   e 2 3 , - 1 6   são, respectivamente: y 1 ( x )   =   - x - 1 6 e y 2 ( x )   =   - x + 1 6 . Dá uma olhada nos gráficos!

Resposta

Pontos de inclinação igual à 1: - 2 3 , 1 6   e 2 3 , - 1 6  

Equações das retas normais: y 1 ( x )   =   - x - 1 6 e y 2 ( x )   = - x + 1 6

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